$\tan \frac{\pi}{12}$ の値を加法定理を用いて求める問題です。問題文の指示から $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ を利用します。

1. 問題の内容

$\tan \frac{\pi}{12}$ の値を加法定理を用いて求める問題です。問題文の指示から $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ を利用します。

2. 解き方の手順

タンジェントの加法定理は以下の通りです。

$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$

$\alpha = \frac{\pi}{3}$, $\beta = \frac{\pi}{4}$ とおくと、$\tan \alpha = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$、$\tan \beta = \tan \frac{\pi}{4} = 1$ となります。

これらを加法定理に代入すると、

$\tan \frac{\pi}{12} = \tan(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan \frac{\pi}{3} - \tan \frac{\pi}{4}}{1 + \tan \frac{\pi}{3} \tan \frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$

分母を有理化するために、分子と分母に $1 - \sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3} - 1)(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3} - 3 - 1 + \sqrt{3}}{1 - 3} = \frac{2\sqrt{3} - 4}{-2} = 2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$2 - \sqrt{3}$