定積分 $\int_{1}^{3} (4x^2 - 3x + 5) dx + \int_{1}^{3} (3x^2 + x - 3) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{3} (4x^2 - 3x + 5) dx + \int_{1}^{3} (3x^2 + x - 3) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分区間が同じなので、積分の中身をまとめることができます。

$\int_{1}^{3} (4x^2 - 3x + 5) dx + \int_{1}^{3} (3x^2 + x - 3) dx = \int_{1}^{3} ((4x^2 - 3x + 5) + (3x^2 + x - 3)) dx$

次に、被積分関数を簡略化します。

$4x^2 - 3x + 5 + 3x^2 + x - 3 = 7x^2 - 2x + 2$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{1}^{3} (7x^2 - 2x + 2) dx$

次に、不定積分を計算します。

$\int (7x^2 - 2x + 2) dx = \frac{7}{3}x^3 - x^2 + 2x + C$

最後に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{3} (7x^2 - 2x + 2) dx = [\frac{7}{3}x^3 - x^2 + 2x]_{1}^{3} = (\frac{7}{3}(3)^3 - (3)^2 + 2(3)) - (\frac{7}{3}(1)^3 - (1)^2 + 2(1))$

$= (\frac{7}{3}(27) - 9 + 6) - (\frac{7}{3} - 1 + 2) = (7(9) - 3) - (\frac{7}{3} + 1) = (63 - 3) - (\frac{7}{3} + \frac{3}{3}) = 60 - \frac{10}{3} = \frac{180}{3} - \frac{10}{3} = \frac{170}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{170}{3}$