三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{5}$, $b=3$, $c = 2\sqrt{2}$であるとき、$\angle A$の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{5}$, $b=3$, $c = 2\sqrt{2}$であるとき、$\angle A$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を利用して$\cos A$を求める。余弦定理は以下の式で表される。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

この式を$\cos A$について解くと、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

与えられた値を代入する。

$\cos A = \frac{3^2 + (2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5})^2}{2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2}}$

$\cos A = \frac{9 + 8 - 5}{12\sqrt{2}}$

$\cos A = \frac{12}{12\sqrt{2}}$

$\cos A = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos A = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos A = \frac{\sqrt{2}}{2}$となる$A$は$45^\circ$である。

3. 最終的な答え

$\angle A = 45^\circ$