$a, b$ を正の定数とする。関数 $y = \sin x$ (1) と $y = a \sin bx$ (2) がある。曲線C, Dは (1), (2) のいずれかのグラフである。(2) の正の周期のうち最小のものは $\frac{ア}{イ} \pi$ であり、$a = \sqrt{ウ}$ , $b = \frac{エ}{オ}$ である。ア, イ, ウ, エ, オに当てはまる数を求めよ。

1. 問題の内容

$a, b$ を正の定数とする。関数 $y = \sin x$ (1) と $y = a \sin bx$ (2) がある。曲線C, Dは (1), (2) のいずれかのグラフである。(2) の正の周期のうち最小のものは $\frac{ア}{イ} \pi$ であり、$a = \sqrt{ウ}$ , $b = \frac{エ}{オ}$ である。ア, イ, ウ, エ, オに当てはまる数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、グラフCとDのどちらが $y = \sin x$ のグラフであるかを考える。$y = \sin x$ の周期は $2\pi$ であり、グラフDが $x = 2\pi$ で１周期になっているので、グラフDが $y = \sin x$ である。

よって、グラフCが $y = a \sin bx$ である。

グラフCの周期を考える。グラフCは $x = \pi$ で1周期になっているので、周期は $\pi$ である。

$y = a \sin bx$ の周期は $\frac{2\pi}{b}$ であるから、

$\frac{2\pi}{b} = \pi$

$b = 2$

よって、$b = \frac{2}{1}$ となり、エ = 2, オ = 1。

また、グラフCのy軸方向の最大値は $\sqrt{2}$ である。

$y = a \sin bx$ の最大値は $a$ であるから、$a = \sqrt{2}$。

よって、ウ = 2。

グラフCの周期は $\pi$ であるから、$\frac{ア}{イ} \pi = \pi$ となる。$\frac{ア}{イ} = 1$。

ア=1, イ=1。

3. 最終的な答え

ア=1, イ=1, ウ=2, エ=2, オ=1

よって、

最小の周期は $\frac{1}{1}\pi = \pi$

$a = \sqrt{2}$

$b = \frac{2}{1} = 2$