(2) $(x-1)(x^3+x^2+x+1)$ を展開する。 (4) $(a-2b-3)^2$ を展開する。 (6) $(2x-y+z)(2x+y-z)$ を展開する。 (8) $(x-1)(x-2)(x+3)(x+6)$ を展開する。

画像に写っている数学の問題のうち、(2)、(4)、(6)、(8)を解きます。

1. 問題の内容

(2) $(x-1)(x^3+x^2+x+1)$ を展開する。

(4) $(a-2b-3)^2$ を展開する。

(6) $(2x-y+z)(2x+y-z)$ を展開する。

(8) $(x-1)(x-2)(x+3)(x+6)$ を展開する。

2. 解き方の手順

(2)

$(x-1)(x^3+x^2+x+1)$ を展開します。

これは $(x-1)(x^3+x^2+x+1) = x^4 + x^3 + x^2 + x - x^3 - x^2 - x - 1 = x^4 - 1$ と計算できます。

これは $x^4 - 1 = (x-1)(x^3+x^2+x+1)$ という因数分解の公式です。

(4)

$(a-2b-3)^2$ を展開します。

$(a-2b-3)^2 = (a-(2b+3))^2 = a^2 - 2a(2b+3) + (2b+3)^2 = a^2 - 4ab - 6a + 4b^2 + 12b + 9$ と計算できます。

したがって、$(a-2b-3)^2 = a^2 + 4b^2 + 9 - 4ab - 6a + 12b$ となります。

(6)

$(2x-y+z)(2x+y-z)$ を展開します。

$(2x-y+z)(2x+y-z) = (2x-(y-z))(2x+(y-z)) = (2x)^2 - (y-z)^2 = 4x^2 - (y^2 - 2yz + z^2) = 4x^2 - y^2 + 2yz - z^2$ と計算できます。

したがって、$(2x-y+z)(2x+y-z) = 4x^2 - y^2 - z^2 + 2yz$ となります。

(8)

$(x-1)(x-2)(x+3)(x+6)$ を展開します。

$(x-1)(x-2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+3)(x-2)(x+6) = (x^2 + 2x - 3)(x^2 + 4x - 12) = x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 2x^3 + 8x^2 - 24x - 3x^2 - 12x + 36 = x^4 + 6x^3 - 7x^2 - 36x + 36$ と計算できます。

3. 最終的な答え

(2) $x^4 - 1$

(4) $a^2 + 4b^2 - 4ab - 6a + 12b + 9$

(6) $4x^2 - y^2 - z^2 + 2yz$

(8) $x^4 + 6x^3 - 7x^2 - 36x + 36$