(1) 円 $x^2 + y^2 = 13$ 上の点 $(3, 2)$ における接線の方程式を求める。また、円 $x^2 + y^2 = 13$ の円外の点 $(5, 1)$ から引いた接線の方程式を求める。 (2) 円 $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 5$ の接線で、傾きが $2$ である直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 円 $x^2 + y^2 = 13$ 上の点 $(3, 2)$ における接線の方程式を求める。また、円 $x^2 + y^2 = 13$ の円外の点 $(5, 1)$ から引いた接線の方程式を求める。

(2) 円 $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 5$ の接線で、傾きが $2$ である直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は $x_1x + y_1y = r^2$ で与えられる。

したがって、円 $x^2 + y^2 = 13$ 上の点 $(3, 2)$ における接線の方程式は $3x + 2y = 13$ となる。

次に、円 $x^2 + y^2 = 13$ の円外の点 $(5, 1)$ から引いた接線の方程式を求める。

接線の方程式を $y - 1 = m(x - 5)$ とおく。整理すると $y = mx - 5m + 1$ となる。

これを円の方程式に代入して、$x^2 + (mx - 5m + 1)^2 = 13$。

$x^2 + (m^2x^2 - 10m^2x + 2mx + 25m^2 - 10m + 1) = 13$

$(1 + m^2)x^2 + (2m - 10m^2)x + (25m^2 - 10m - 12) = 0$

この二次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ である。

$D = (2m - 10m^2)^2 - 4(1 + m^2)(25m^2 - 10m - 12) = 0$

$4m^2 - 40m^3 + 100m^4 - 4(25m^2 - 10m - 12 + 25m^4 - 10m^3 - 12m^2) = 0$

$4m^2 - 40m^3 + 100m^4 - 4(25m^4 - 10m^3 + 13m^2 - 10m - 12) = 0$

$m^2 - 10m^3 + 25m^4 - (25m^4 - 10m^3 + 13m^2 - 10m - 12) = 0$

$-12m^2 + 10m + 12 = 0$

$6m^2 - 5m - 6 = 0$

$(2m - 3)(3m + 2) = 0$

$m = \frac{3}{2}, -\frac{2}{3}$

したがって、接線の方程式は

$y = \frac{3}{2}x - 5\cdot\frac{3}{2} + 1 = \frac{3}{2}x - \frac{13}{2}$ より $3x - 2y - 13 = 0$

$y = -\frac{2}{3}x - 5\cdot(-\frac{2}{3}) + 1 = -\frac{2}{3}x + \frac{13}{3}$ より $2x + 3y - 13 = 0$

(2)

円 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ の傾き $m$ の接線の方程式は $y-b = m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2}$ で与えられる。

円 $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 5$ の傾き $2$ の接線の方程式は

$y + 3 = 2(x - 2) \pm \sqrt{5}\sqrt{1 + 2^2} = 2x - 4 \pm \sqrt{5}\sqrt{5} = 2x - 4 \pm 5$

$y = 2x - 7 \pm 5$

$y = 2x - 12$ または $y = 2x + (-7 - 5) = 2x - 2$

$2x - y - 2 = 0$ と $2x - y - 12 = 0$

3. 最終的な答え

(1) ア：$3x + 2y = 13$

イ：$3x - 2y - 13 = 0$, $2x + 3y - 13 = 0$

(2) ウ：$2x - y - 2 = 0$, $2x - y - 12 = 0$