3点 $A(-2, 1)$, $B(1, 4)$, $C(0, 5)$ を頂点とする三角形$ABC$の外接円の半径と外心の座標を求める。

1. 問題の内容

3点 $A(-2, 1)$, $B(1, 4)$, $C(0, 5)$ を頂点とする三角形$ABC$の外接円の半径と外心の座標を求める。

2. 解き方の手順

外心の座標を $(x, y)$ とおくと、外心は三角形の各頂点からの距離が等しい。

したがって、外心と各頂点との距離の2乗は等しい。

$OA^2 = OB^2 = OC^2$

$OA^2 = (x+2)^2 + (y-1)^2 = x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + y^2 + 4x - 2y + 5$

$OB^2 = (x-1)^2 + (y-4)^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = x^2 + y^2 - 2x - 8y + 17$

$OC^2 = (x-0)^2 + (y-5)^2 = x^2 + y^2 - 10y + 25$

$OA^2 = OB^2$ より

$x^2 + y^2 + 4x - 2y + 5 = x^2 + y^2 - 2x - 8y + 17$

$6x + 6y = 12$

$x + y = 2$ (1)

$OB^2 = OC^2$ より

$x^2 + y^2 - 2x - 8y + 17 = x^2 + y^2 - 10y + 25$

$-2x + 2y = 8$

$-x + y = 4$ (2)

(1) + (2) より

$2y = 6$

$y = 3$

(1) より

$x = 2 - y = 2 - 3 = -1$

したがって、外心の座標は $(-1, 3)$ である。

外接円の半径 $R$ は、外心から各頂点までの距離に等しい。

$R^2 = OA^2 = (-1+2)^2 + (3-1)^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$

$R = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

外心の座標: $(-1, 3)$

外接円の半径: $\sqrt{5}$