2点 A(-4, 0), B(2, 0) からの距離の比が 2:1 である点の軌跡を求めます。

1. 問題の内容

2点 A(-4, 0), B(2, 0) からの距離の比が 2:1 である点の軌跡を求めます。

2. 解き方の手順

軌跡上の点を P(x, y) とします。AP : BP = 2 : 1 であることから、AP = 2BP が成り立ちます。

AP と BP の距離をそれぞれ x, y を用いて表します。

$AP = \sqrt{(x - (-4))^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x+4)^2 + y^2}$

$BP = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x-2)^2 + y^2}$

AP = 2BP より、

$\sqrt{(x+4)^2 + y^2} = 2\sqrt{(x-2)^2 + y^2}$

両辺を2乗すると、

$(x+4)^2 + y^2 = 4((x-2)^2 + y^2)$

$x^2 + 8x + 16 + y^2 = 4(x^2 - 4x + 4 + y^2)$

$x^2 + 8x + 16 + y^2 = 4x^2 - 16x + 16 + 4y^2$

整理すると、

$3x^2 - 24x + 3y^2 = 0$

$x^2 - 8x + y^2 = 0$

平方完成を行うと、

$(x - 4)^2 - 16 + y^2 = 0$

$(x - 4)^2 + y^2 = 16$

これは、中心が (4, 0) で半径が 4 の円の方程式です。

3. 最終的な答え

(x - 4)^2 + y^2 = 16