円 $x^2 + y^2 = 16$ と直線 $y = 2x - k$ が共有点を1つ持つとき、定数 $k$ の値を求める問題です。$k = \pm \bigcirc$ の形で答える必要があります。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 16$ と直線 $y = 2x - k$ が共有点を1つ持つとき、定数 $k$ の値を求める問題です。$k = \pm \bigcirc$ の形で答える必要があります。

2. 解き方の手順

円と直線が共有点を1つ持つということは、円と直線が接することを意味します。

直線の方程式を円の方程式に代入して、$x$ についての2次方程式を作り、その判別式 $D$ が $0$ となるように $k$ の値を求めます。

まず、$y = 2x - k$ を $x^2 + y^2 = 16$ に代入します。

$x^2 + (2x - k)^2 = 16$

$x^2 + (4x^2 - 4xk + k^2) = 16$

$5x^2 - 4kx + k^2 - 16 = 0$

この2次方程式が重解を持つとき、判別式 $D$ は $0$ となります。

$D = (-4k)^2 - 4(5)(k^2 - 16) = 0$

$16k^2 - 20(k^2 - 16) = 0$

$16k^2 - 20k^2 + 320 = 0$

$-4k^2 + 320 = 0$

$4k^2 = 320$

$k^2 = 80$

$k = \pm \sqrt{80} = \pm \sqrt{16 \cdot 5} = \pm 4\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$k = \pm 4\sqrt{5}$