円 $x^2 + y^2 = 9$ と直線 $y = x - k$ が共有点を持つとき、定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 9$ と直線 $y = x - k$ が共有点を持つとき、定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

円と直線が共有点を持つ条件は、円の中心から直線までの距離が円の半径以下であることです。

円の中心は原点(0, 0) で、半径は $\sqrt{9} = 3$ です。

原点から直線 $y = x - k$ つまり $x - y - k = 0$ までの距離 $d$ は、点と直線の距離の公式から

$$d = \frac{|0 - 0 - k|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{2}}$$

共有点を持つためには、$d \leq 3$ である必要があります。

$$\frac{|k|}{\sqrt{2}} \leq 3$$

$$|k| \leq 3\sqrt{2}$$

$$-3\sqrt{2} \leq k \leq 3\sqrt{2}$$

3. 最終的な答え

$-3\sqrt{2} \leq k \leq 3\sqrt{2}$