円 $(x-1)^2 + (y-4)^2 = 9$ と直線 $x+y-2=0$ の共有点の座標を求め、x座標が小さい順に答える問題です。

1. 問題の内容

円 $(x-1)^2 + (y-4)^2 = 9$ と直線 $x+y-2=0$ の共有点の座標を求め、x座標が小さい順に答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、直線の方程式を変形して、$y$ を $x$ で表します。

$x+y-2=0$ より、

$y = 2-x$

これを円の方程式に代入して、$x$ についての二次方程式を解きます。

$(x-1)^2 + (2-x-4)^2 = 9$

$(x-1)^2 + (-x-2)^2 = 9$

$x^2 - 2x + 1 + x^2 + 4x + 4 = 9$

$2x^2 + 2x + 5 = 9$

$2x^2 + 2x - 4 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x+2)(x-1) = 0$

よって、$x = -2$ または $x = 1$ です。

$x=-2$ のとき、$y = 2 - (-2) = 4$

$x=1$ のとき、$y = 2 - 1 = 1$

したがって、共有点の座標は $(-2, 4)$ と $(1, 1)$ です。x座標が小さい順に並べると、 $(-2, 4)$ と $(1, 1)$ になります。

3. 最終的な答え

$(x, y) = (-2, 4), (1, 1)$