円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = x + k$ が共有点を1つ持つとき、定数 $k$ の値を求める問題です。$k = \pm \bigcirc$ の形で答える必要があります。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = x + k$ が共有点を1つ持つとき、定数 $k$ の値を求める問題です。$k = \pm \bigcirc$ の形で答える必要があります。

2. 解き方の手順

円 $x^2 + y^2 = 4$ は原点を中心とする半径2の円です。直線 $y = x + k$ を円の方程式に代入して、$x$ についての二次方程式を作り、判別式が0となる条件から $k$ の値を求めます。

まず、$y = x + k$ を $x^2 + y^2 = 4$ に代入します。

$x^2 + (x + k)^2 = 4$

$x^2 + x^2 + 2kx + k^2 = 4$

$2x^2 + 2kx + k^2 - 4 = 0$

この二次方程式がただ1つの解を持つためには、判別式 $D$ が0でなければなりません。

$D = (2k)^2 - 4(2)(k^2 - 4) = 0$

$4k^2 - 8(k^2 - 4) = 0$

$4k^2 - 8k^2 + 32 = 0$

$-4k^2 + 32 = 0$

$4k^2 = 32$

$k^2 = 8$

$k = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$k = \pm 2\sqrt{2}$