円 $x^2 + y^2 = 16$ と直線 $y = 2x - k$ が共有点を1つ持つとき、定数 $k$ の値を求めなさい。答えは $k = \pm \bigcirc$ の形で答える。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 16$ と直線 $y = 2x - k$ が共有点を1つ持つとき、定数 $k$ の値を求めなさい。答えは $k = \pm \bigcirc$ の形で答える。

2. 解き方の手順

円と直線が共有点を1つ持つということは、直線が円に接するということである。

円の中心 (0, 0) から直線 $2x - y - k = 0$ までの距離が円の半径 4 に等しいとき、直線は円に接する。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|2(0) - (0) - k|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 4$

$\frac{|-k|}{\sqrt{5}} = 4$

$|k| = 4\sqrt{5}$

$k = \pm 4\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$k = \pm 4\sqrt{5}$