2直線 $y=3x$ と $y=-2x$ が $x$ 軸の正の方向となす角をそれぞれ $\alpha$、$\beta$ とする。$\tan{\alpha}$、$\tan{\beta}$、$\tan{(\beta-\alpha)}$、および2直線のなす角 $\theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$)を求める。

1. 問題の内容

2直線 $y=3x$ と $y=-2x$ が $x$ 軸の正の方向となす角をそれぞれ $\alpha$、$\beta$ とする。$\tan{\alpha}$、$\tan{\beta}$、$\tan{(\beta-\alpha)}$、および2直線のなす角 $\theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$)を求める。

2. 解き方の手順

* 直線 $y=mx$ が $x$ 軸の正の方向となす角を $\theta$ とすると、$\tan{\theta} = m$ である。

* $y=3x$ より、$\tan{\alpha} = 3$

* $y=-2x$ より、$\tan{\beta} = -2$

* $\tan{(\beta - \alpha)}$ を求める。

$\tan{(\beta - \alpha)} = \frac{\tan{\beta} - \tan{\alpha}}{1 + \tan{\beta}\tan{\alpha}} = \frac{-2 - 3}{1 + (-2)(3)} = \frac{-5}{1 - 6} = \frac{-5}{-5} = 1$

* 2直線のなす角 $\theta$ を求める。$\tan{\theta} = |\tan{(\beta - \alpha)}| = |1| = 1$ である。

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\tan{\alpha} = 3$

$\tan{\beta} = -2$

$\tan{(\beta - \alpha)} = 1$

$\theta = \frac{\pi}{4}$