円 $x^2 + y^2 = 9$ と直線 $y = -x + k$ が共有点を持つとき、定数 $k$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 9$ と直線 $y = -x + k$ が共有点を持つとき、定数 $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

円と直線が共有点を持つ条件は、円の中心と直線との距離が円の半径以下であることです。

円 $x^2 + y^2 = 9$ の中心は原点 $(0, 0)$ であり、半径は $\sqrt{9} = 3$ です。

直線 $y = -x + k$ を $x + y - k = 0$ と変形します。

点 $(0, 0)$ と直線 $x + y - k = 0$ との距離 $d$ は、点と直線の距離の公式より

$d = \frac{|0 + 0 - k|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{2}}$

円と直線が共有点を持つためには、$d \le 3$ である必要があります。

したがって、

$\frac{|k|}{\sqrt{2}} \le 3$

$|k| \le 3\sqrt{2}$

$-3\sqrt{2} \le k \le 3\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$-3\sqrt{2} \le k \le 3\sqrt{2}$ なので、 $k$ の範囲は $-3\sqrt{2} \le k \le 3\sqrt{2}$ となります。

最終的な答え：

$-3\sqrt{2} \leqq k \leqq 3\sqrt{2}$