問題は、三角関数の合成を用いて $\sqrt{3}\sin{\theta} + \cos{\theta}$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形し、さらに不等式 $\sqrt{3}\sin{\theta} + \cos{\theta} < 1$ ($0 \le \theta < 2\pi$) を解くことです。

1. 問題の内容

問題は、三角関数の合成を用いて $\sqrt{3}\sin{\theta} + \cos{\theta}$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形し、さらに不等式 $\sqrt{3}\sin{\theta} + \cos{\theta} < 1$ ($0 \le \theta < 2\pi$) を解くことです。

2. 解き方の手順

ステップ1: $\sqrt{3}\sin{\theta} + \cos{\theta}$ を合成する。

$\sqrt{3}\sin{\theta} + \cos{\theta} = r\sin(\theta + \alpha)$ とおくと、$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$ である。

また、$\cos{\alpha} = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin{\alpha} = \frac{1}{2}$ となる $\alpha$ を求める。これは $\alpha = \frac{\pi}{6}$ である。

したがって、

$\sqrt{3}\sin{\theta} + \cos{\theta} = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$

ステップ2: 不等式 $2\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) < 1$ を解く。

$\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) < \frac{1}{2}$

$\theta + \frac{\pi}{6} = x$ とおくと、$\sin{x} < \frac{1}{2}$ であり、$\frac{\pi}{6} \le x < 2\pi + \frac{\pi}{6}$。

$\sin{x} = \frac{1}{2}$ を満たす $x$ は $x = \frac{\pi}{6}$ と $x = \frac{5\pi}{6}$ である。

したがって、$\frac{\pi}{6} \le x < \frac{5\pi}{6}$ を除く領域で $\sin{x} < \frac{1}{2}$ となる。

よって、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で考えると、$\frac{5\pi}{6} < x < 2\pi + \frac{\pi}{6}$ である。

$\frac{5\pi}{6} < \theta + \frac{\pi}{6} < 2\pi + \frac{\pi}{6}$ より、$\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} < \theta < 2\pi + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}$

$\frac{4\pi}{6} < \theta < 2\pi$

$\frac{2\pi}{3} < \theta < 2\pi$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}\sin{\theta} + \cos{\theta} = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$

不等式 $\sqrt{3}\sin{\theta} + \cos{\theta} < 1$ の解は、$\frac{2\pi}{3} < \theta < 2\pi$