$f(x) = 4x^3 + 3x^2 + x$ とする。 $F(x) = \int_1^x f(t) dt$ が最大になるような $x$ の値と、その時の $F(x)$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$f(x) = 4x^3 + 3x^2 + x$ とする。 $F(x) = \int_1^x f(t) dt$ が最大になるような $x$ の値と、その時の $F(x)$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$F(x)$ を計算する。

$F(x) = \int_1^x f(t) dt = \int_1^x (4t^3 + 3t^2 + t) dt = [t^4 + t^3 + \frac{1}{2}t^2]_1^x = (x^4 + x^3 + \frac{1}{2}x^2) - (1 + 1 + \frac{1}{2}) = x^4 + x^3 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}$.

次に、$F(x)$ が最大になる $x$ を求めるために、$F'(x)$ を計算する。

$F'(x) = 4x^3 + 3x^2 + x = x(4x^2 + 3x + 1)$.

$F'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$x(4x^2 + 3x + 1) = 0$.

$x = 0$ または $4x^2 + 3x + 1 = 0$.

$4x^2 + 3x + 1 = 0$ の判別式 $D = 3^2 - 4(4)(1) = 9 - 16 = -7 < 0$ なので、$4x^2 + 3x + 1 = 0$ は実数解を持たない。

したがって、$F'(x) = 0$ となるのは $x = 0$ のみ。

$F''(x) = 12x^2 + 6x + 1$

$F''(0) = 1 > 0$ なので、$x = 0$ で $F(x)$ は極小となる。

したがって、$x=0$で最大値を取らない。

問題文をもう一度よく見ると、積分範囲が$\int_1^x$である。 $F(x)$ の最大値を求めるには、$F'(x) = 0$となる $x$ を求め、その前後で $F'(x)$ の符号を調べれば良い。

$F'(x) = x(4x^2 + 3x + 1)$

$4x^2 + 3x + 1 > 0$ なので、$F'(x)$ の符号は $x$ の符号と同じ。

したがって、$x < 0$ で $F'(x) < 0$、$x > 0$ で $F'(x) > 0$ であるから、$x = 0$ で $F(x)$ は極小となる。

$x$ が大きいとき、$F(x)$ は大きくなるので、最大値は存在しない。しかし、問題文から最大値があるものと推測されるため、どこかで計算間違いをしている可能性が高い。

問題文に戻ると、$f(x)=4x^3 + 3x^2 + x$ とあるので、これをもう一度確認する。そして、$F(x) = \int_1^x f(t) dt$ が最大となるような$x$の値を求め、その時の$F(x)$ の最大値を求める。

$F'(x) = f(x) = 4x^3 + 3x^2 + x = x(4x^2 + 3x + 1)$

$4x^2 + 3x + 1 = 0$ の判別式は $D = 3^2 - 4(4)(1) = 9 - 16 = -7 < 0$ なので、$4x^2 + 3x + 1 > 0$。したがって、$F'(x) = 0$ となるのは $x = 0$ のみ。

$x<0$のとき、$F'(x) < 0$、$x>0$のとき、$F'(x) > 0$なので、$x=0$は極小値である。

問題文が間違っているのではないかという可能性もあるが、積分範囲を勘違いしている可能性がある。

3. 最終的な答え

最大値は存在しない。