関数 $f(x) = 4x^3 + 3x^2 + x$ が与えられています。関数 $F(x)$ は $F(x) = \int_{x}^{2} f(t) dt$ で定義されます。$F(x)$ が最大になるような $x$ の値と、$F(x)$ の最大値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 4x^3 + 3x^2 + x$ が与えられています。関数 $F(x)$ は $F(x) = \int_{x}^{2} f(t) dt$ で定義されます。$F(x)$ が最大になるような $x$ の値と、$F(x)$ の最大値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$F(x)$ の最大値を求めるために、$F(x)$ を微分して、その導関数が0になる点を求めます。

$F(x) = \int_{x}^{2} f(t) dt$ より、微分積分学の基本定理を用いて、

$F'(x) = -f(x) = -(4x^3 + 3x^2 + x)$

$F'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$-(4x^3 + 3x^2 + x) = 0$

$-x(4x^2 + 3x + 1) = 0$

$4x^2 + 3x + 1 = 0$ の判別式は $D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 9 - 16 = -7 < 0$ なので、$4x^2 + 3x + 1 = 0$ は実数解を持ちません。

したがって、$F'(x) = 0$ となるのは $x = 0$ のみです。

次に、$x = 0$ が $F(x)$ の極大値を与えることを確認します。$F'(x) = -x(4x^2 + 3x + 1)$ であり、$4x^2 + 3x + 1$ は常に正なので、$F'(x)$ の符号は $-x$ の符号と反対になります。したがって、$x < 0$ のとき $F'(x) > 0$ であり、$x > 0$ のとき $F'(x) < 0$ となります。これは、$x = 0$ で $F'(x)$ の符号が正から負に変わることを示しており、$x = 0$ が $F(x)$ の極大値を与える点であることがわかります。

$F(x)$ の最大値は、$x = 0$ のときの $F(0)$ の値です。

$F(0) = \int_{0}^{2} (4t^3 + 3t^2 + t) dt = [t^4 + t^3 + \frac{1}{2}t^2]_{0}^{2} = (2^4 + 2^3 + \frac{1}{2} \cdot 2^2) - (0) = 16 + 8 + 2 = 26$

3. 最終的な答え

$F(x)$ を最大にする $x$ の値は $x = 0$ であり、$F(x)$ の最大値は $26$ です。

$x = 0$

$F(0) = 26$