与えられた3つの根号を簡単にする問題です。 (1) $\sqrt{9-2\sqrt{14}}$ (2) $\sqrt{15-6\sqrt{6}}$ (3) $\sqrt{3-\sqrt{5}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの根号を簡単にする問題です。

(1) $\sqrt{9-2\sqrt{14}}$

(2) $\sqrt{15-6\sqrt{6}}$

(3) $\sqrt{3-\sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

(1) 二重根号を外すことを考えます。$\sqrt{a-b}$ の形の二重根号を外すには、$x+y=a$ かつ $xy = (\frac{b}{2})^2$ となる $x, y$ を見つけます。このとき、$a > b$ である必要があります。

この問題では、$a = 9$、$b = 2\sqrt{14}$ なので、$x+y=9$ かつ $xy = (\frac{2\sqrt{14}}{2})^2 = 14$ となる $x, y$ を見つけます。$x = 7$、$y = 2$ とすると、条件を満たします。したがって、

$\sqrt{9-2\sqrt{14}} = \sqrt{7} - \sqrt{2}$

(2) 同様に二重根号を外すことを考えます。

この問題では、$a = 15$、$b = 6\sqrt{6}$ なので、$x+y=15$ かつ $xy = (\frac{6\sqrt{6}}{2})^2 = (3\sqrt{6})^2 = 54$ となる $x, y$ を見つけます。$x = 9$、$y = 6$ とすると、条件を満たします。したがって、

$\sqrt{15-6\sqrt{6}} = \sqrt{9} - \sqrt{6} = 3 - \sqrt{6}$

(3) 二重根号を外すために、根号の中身を $2$ 倍します。

$\sqrt{3-\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}$

ここで、$a = 6$、$b = 2\sqrt{5}$ なので、$x+y=6$ かつ $xy = (\frac{2\sqrt{5}}{2})^2 = 5$ となる $x, y$ を見つけます。$x = 5$、$y = 1$ とすると、条件を満たします。したがって、

$\frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{7} - \sqrt{2}$

(2) $3 - \sqrt{6}$

(3) $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}$