$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\cos 2\theta - \sqrt{3}\sin 2\theta - 1 > 0$ を解く。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\cos 2\theta - \sqrt{3}\sin 2\theta - 1 > 0$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、左辺を変形する。$\cos 2\theta - \sqrt{3}\sin 2\theta$ の部分を三角関数の合成を用いることで $r\cos(2\theta + \alpha)$ の形に変形する。

$r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$\cos \alpha = \frac{1}{2}, \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\alpha = \frac{\pi}{3}$

したがって、

$\cos 2\theta - \sqrt{3}\sin 2\theta = 2\cos(2\theta + \frac{\pi}{3})$

元の不等式は次のようになる。

$2\cos(2\theta + \frac{\pi}{3}) - 1 > 0$

$2\cos(2\theta + \frac{\pi}{3}) > 1$

$\cos(2\theta + \frac{\pi}{3}) > \frac{1}{2}$

ここで、$t = 2\theta + \frac{\pi}{3}$ とおくと、

$\cos t > \frac{1}{2}$

また、$\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$ であるから、$t$ の範囲は

$2(0) + \frac{\pi}{3} \le 2\theta + \frac{\pi}{3} < 2(2\pi) + \frac{\pi}{3}$

$\frac{\pi}{3} \le t < 4\pi + \frac{\pi}{3}$

$\cos t > \frac{1}{2}$ となる $t$ の範囲は

$\frac{\pi}{3} \le t < \frac{5\pi}{3}$ または $\frac{7\pi}{3} \le t < 4\pi + \frac{\pi}{3}$

$t = 2\theta + \frac{\pi}{3}$ より、

$\frac{\pi}{3} \le 2\theta + \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{3}$

$0 \le 2\theta < \frac{4\pi}{3}$

$0 \le \theta < \frac{2\pi}{3}$

$\frac{7\pi}{3} \le 2\theta + \frac{\pi}{3} < \frac{13\pi}{3}$

$\frac{6\pi}{3} \le 2\theta < \frac{12\pi}{3}$

$2\pi \le 2\theta < 4\pi$

$\pi \le \theta < 2\pi$

したがって、

$0 \le \theta < \frac{2\pi}{3}$ または $\pi \le \theta < 2\pi$

3. 最終的な答え

$0 \le \theta < \frac{2\pi}{3}$, $\pi \le \theta < 2\pi$