関数 $f(x) = \sqrt{2} \sin x \cos x + \sin x + \cos x$ が与えられている。ただし，$0 \le x \le 2\pi$ である。 (1) $t = \sin x + \cos x$ とおいたとき、$f(x)$ を $t$ の関数で表す。 (2) $t$ の取り得る値の範囲を求める。 (3) $f(x)$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sqrt{2} \sin x \cos x + \sin x + \cos x$ が与えられている。ただし，$0 \le x \le 2\pi$ である。

(1) $t = \sin x + \cos x$ とおいたとき、$f(x)$ を $t$ の関数で表す。

(2) $t$ の取り得る値の範囲を求める。

(3) $f(x)$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を $t$ の関数で表す。

まず、$t = \sin x + \cos x$ の両辺を2乗すると、

$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x$

したがって、$2 \sin x \cos x = t^2 - 1$ となる。

よって、$\sin x \cos x = \frac{t^2-1}{2}$ である。

$f(x) = \sqrt{2} \sin x \cos x + \sin x + \cos x$ に代入すると、

$f(x) = \sqrt{2} \left(\frac{t^2-1}{2}\right) + t = \frac{\sqrt{2}}{2} (t^2 - 1) + t$

$f(t) = \frac{\sqrt{2}}{2} t^2 + t - \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $t$ の取り得る値の範囲を求める。

$t = \sin x + \cos x$ を変形する。

$t = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x\right) = \sqrt{2} \left(\cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x\right)$

$t = \sqrt{2} \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$

$0 \le x \le 2\pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le x + \frac{\pi}{4} \le \frac{9\pi}{4}$

したがって、$-1 \le \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \le 1$ であるから、$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ である。

(3) $f(x)$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求める。

$f(t) = \frac{\sqrt{2}}{2} t^2 + t - \frac{\sqrt{2}}{2}$ を平方完成する。

$f(t) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(t^2 + \sqrt{2} t\right) - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(t^2 + \sqrt{2} t + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(t + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(t + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \frac{3\sqrt{2}}{4}$

$t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、最小値 $-\frac{3\sqrt{2}}{4}$ をとる。

このとき、$t = \sqrt{2} \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{2}$

$x + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

$x = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{14\pi - 3\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}$

$x = \frac{11\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{22\pi - 3\pi}{12} = \frac{19\pi}{12}$

$t = \sqrt{2}$ のとき、最大値をとり、

$f(\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} (2) + \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

$t = \sqrt{2} \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$

$\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1$

$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $f(t) = \frac{\sqrt{2}}{2} t^2 + t - \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

(3) 最大値: $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ ($x = \frac{\pi}{4}$), 最小値: $-\frac{3\sqrt{2}}{4}$ ($x = \frac{11\pi}{12}, \frac{19\pi}{12}$)