点P(x, y)が原点Oを中心とする半径$\sqrt{2}$の円周上を動くとき、$\sqrt{3}x + y$の最小値と、$x^2 + 2xy + 3y^2$の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

点P(x, y)が原点Oを中心とする半径$\sqrt{2}$の円周上を動くとき、$\sqrt{3}x + y$の最小値と、$x^2 + 2xy + 3y^2$の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点P(x, y)は半径$\sqrt{2}$の円周上にあるので、$x^2 + y^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$を満たします。

(1) $\sqrt{3}x + y$の最小値を求める。

$x = \sqrt{2}\cos\theta$, $y = \sqrt{2}\sin\theta$とパラメータ表示できます。

このとき、$\sqrt{3}x + y = \sqrt{3}(\sqrt{2}\cos\theta) + \sqrt{2}\sin\theta = \sqrt{2}(\sqrt{3}\cos\theta + \sin\theta)$

$\sqrt{3}\cos\theta + \sin\theta = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta + \frac{1}{2}\sin\theta) = 2(\sin\frac{\pi}{3}\cos\theta + \cos\frac{\pi}{3}\sin\theta) = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

よって、$\sqrt{3}x + y = \sqrt{2} \cdot 2\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = 2\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$の最小値は-1なので、$\sqrt{3}x + y$の最小値は$2\sqrt{2}(-1) = -2\sqrt{2}$

(2) $x^2 + 2xy + 3y^2$の最大値を求める。

$x = \sqrt{2}\cos\theta$, $y = \sqrt{2}\sin\theta$を代入すると

$x^2 + 2xy + 3y^2 = (\sqrt{2}\cos\theta)^2 + 2(\sqrt{2}\cos\theta)(\sqrt{2}\sin\theta) + 3(\sqrt{2}\sin\theta)^2 = 2\cos^2\theta + 4\cos\theta\sin\theta + 6\sin^2\theta$

$= 2\cos^2\theta + 6\sin^2\theta + 4\sin\theta\cos\theta = 2\cos^2\theta + 6(1-\cos^2\theta) + 2(2\sin\theta\cos\theta)$

$= 2\cos^2\theta + 6 - 6\cos^2\theta + 2\sin(2\theta) = -4\cos^2\theta + 6 + 2\sin(2\theta)$

$= -4(\frac{1+\cos(2\theta)}{2}) + 6 + 2\sin(2\theta) = -2 - 2\cos(2\theta) + 6 + 2\sin(2\theta)$

$= 4 + 2\sin(2\theta) - 2\cos(2\theta) = 4 + 2(\sin(2\theta) - \cos(2\theta)) = 4 + 2\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(2\theta) - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(2\theta))$

$= 4 + 2\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\sin(2\theta) - \sin\frac{\pi}{4}\cos(2\theta)) = 4 + 2\sqrt{2}\sin(2\theta - \frac{\pi}{4})$

$\sin(2\theta - \frac{\pi}{4})$の最大値は1なので、$x^2 + 2xy + 3y^2$の最大値は$4 + 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}x + y$の最小値は$-2\sqrt{2}$

$x^2 + 2xy + 3y^2$の最大値は$4 + 2\sqrt{2}$