関数 $f(x) = 2\sin^2 x + 4\sin x + 3\cos 2x$ について、 (1) $t = \sin x$ とするとき、$f(x)$ を $t$ の式で表す。 (2) $f(x)$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値をすべて求める。ただし、$0 \le x < 2\pi$ である。 (3) 方程式 $f(x) = a$ の相異なる解が4個であるような実数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2\sin^2 x + 4\sin x + 3\cos 2x$ について、

(1) $t = \sin x$ とするとき、$f(x)$ を $t$ の式で表す。

(2) $f(x)$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値をすべて求める。ただし、$0 \le x < 2\pi$ である。

(3) 方程式 $f(x) = a$ の相異なる解が4個であるような実数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $t = \sin x$ とする。

$f(x) = 2\sin^2 x + 4\sin x + 3\cos 2x$ を $t$ で表す。

$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ を利用すると、

$f(x) = 2\sin^2 x + 4\sin x + 3(1 - 2\sin^2 x) = 2\sin^2 x + 4\sin x + 3 - 6\sin^2 x = -4\sin^2 x + 4\sin x + 3$

よって、$f(x) = -4t^2 + 4t + 3$

(2) $f(x) = -4t^2 + 4t + 3 = -4(t^2 - t) + 3 = -4\left( (t-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} \right) + 3 = -4(t - \frac{1}{2})^2 + 1 + 3 = -4(t - \frac{1}{2})^2 + 4$

ここで、$t = \sin x$ であり、$0 \le x < 2\pi$ なので、$-1 \le t \le 1$ である。

$f(x)$ は $t = \frac{1}{2}$ のとき最大値4をとる。$\sin x = \frac{1}{2}$ より、$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$f(x)$ は $t = -1$ のとき最小値 $-4(-1 - \frac{1}{2})^2 + 4 = -4(\frac{9}{4}) + 4 = -9 + 4 = -5$ をとる。$\sin x = -1$ より、$x = \frac{3\pi}{2}$

(3) $f(x) = a$ の解が4個となるのは、$-1 \le t \le 1$ の範囲で、$t$ に関する方程式 $-4t^2 + 4t + 3 = a$ が $-1 < t < 1$ に異なる2つの解を持つときである。

$-4t^2 + 4t + 3 = a$ を変形して、$-4(t-\frac{1}{2})^2 + 4 = a$ となる。

$t = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{4-a}}{2}$

$t = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{4-a}}{2} < 1$ かつ $t = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{4-a}}{2} > -1$ を解く。

$\frac{\sqrt{4-a}}{2} < \frac{1}{2}$ かつ $\frac{\sqrt{4-a}}{2} < \frac{3}{2}$

$\sqrt{4-a} < 1$ かつ $\sqrt{4-a} < 3$

$4-a < 1$ かつ $4-a < 9$

$a > 3$ かつ $a > -5$

よって、$a > 3$

また、最大値 $4$ は $a$ の最大値であるため $a < 4$

$-1 < \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{4-a}}{2} < 1$ を解く代わりに、

$-4t^2 + 4t + 3 = a$ をグラフで考える。$y = -4t^2 + 4t + 3$ と $y = a$ の交点の個数を調べる。

$t = \pm 1$ のとき $y = -4 \pm 4 + 3 = 3 \mp 4$ となるため、$t = 1$ のとき $y = 3$, $t = -1$ のとき $y = -5$ となる。

$y = -4t^2 + 4t + 3$ は $t = \frac{1}{2}$ で最大値 $4$ をとる。

$t = \sin x$ なので、$t$ が1つの値を取ると、$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ であれば $x$ は1つの値に定まるが、$t$ が1つの値を取るときに、$x$ が2つの値を取ることがある。

$t$ が$-1 < t < 1$ の範囲で2つの異なる解を持てば良い。

$a$ の範囲は $3 < a < 4$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = -4t^2 + 4t + 3$

(2) 最大値: 4 (x = $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$)、最小値: -5 (x = $\frac{3\pi}{2}$)

(3) $3 < a < 4$