$\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+4n} - n)$を求める。

1. 問題の内容

$\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+4n} - n)$を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{n^2+4n} - n$に$\frac{\sqrt{n^2+4n} + n}{\sqrt{n^2+4n} + n}$を掛けて式変形する。

$\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+4n} - n) = \lim_{n\to\infty} \frac{(\sqrt{n^2+4n} - n)(\sqrt{n^2+4n} + n)}{\sqrt{n^2+4n} + n}$

分子を展開すると、

$(\sqrt{n^2+4n} - n)(\sqrt{n^2+4n} + n) = (n^2+4n) - n^2 = 4n$

よって、

$\lim_{n\to\infty} \frac{4n}{\sqrt{n^2+4n} + n}$

ここで、分母分子を$n$で割る。

$\lim_{n\to\infty} \frac{4}{\sqrt{\frac{n^2+4n}{n^2}} + 1} = \lim_{n\to\infty} \frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{n}} + 1}$

$n\to\infty$のとき、$\frac{4}{n} \to 0$であるから、

$\lim_{n\to\infty} \frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{n}} + 1} = \frac{4}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{4}{1+1} = \frac{4}{2} = 2$

3. 最終的な答え

2