$\sin{\theta} = \frac{2}{5}$ のとき、$\cos{\theta}$ と $\tan{\theta}$ の値を求める問題です。ただし、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$ であり、答えは有理化する必要があります。

1. 問題の内容

$\sin{\theta} = \frac{2}{5}$ のとき、$\cos{\theta}$ と $\tan{\theta}$ の値を求める問題です。ただし、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$ であり、答えは有理化する必要があります。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係 $\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ を利用して $\cos{\theta}$ を求めます。

$\sin{\theta} = \frac{2}{5}$ を代入すると、

$(\frac{2}{5})^2 + \cos^2{\theta} = 1$

$\frac{4}{25} + \cos^2{\theta} = 1$

$\cos^2{\theta} = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$

$\cos{\theta} = \pm \sqrt{\frac{21}{25}} = \pm \frac{\sqrt{21}}{5}$

ここで、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$ より、$\cos{\theta} < 0$ であるため、

$\cos{\theta} = - \frac{\sqrt{21}}{5}$

次に、$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$ を利用して $\tan{\theta}$ を求めます。

$\tan{\theta} = \frac{\frac{2}{5}}{-\frac{\sqrt{21}}{5}} = \frac{2}{5} \cdot (-\frac{5}{\sqrt{21}}) = -\frac{2}{\sqrt{21}}$

有理化すると、

$\tan{\theta} = -\frac{2}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}} = -\frac{2\sqrt{21}}{21}$

3. 最終的な答え

$\cos{\theta} = -\frac{\sqrt{21}}{5}$

$\tan{\theta} = -\frac{2\sqrt{21}}{21}$