$\tan \theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める問題です。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ とし、答えは有理化された形で求めます。

1. 問題の内容

$\tan \theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める問題です。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ とし、答えは有理化された形で求めます。

2. 解き方の手順

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{2}{3}$ であることから、$\sin \theta = 2k$ 、$\cos \theta = 3k$ とおくことができます。ここで、$k$ は正の定数です。

三角関数の基本的な関係式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いると、

$$(2k)^2 + (3k)^2 = 1$$

$$4k^2 + 9k^2 = 1$$

$$13k^2 = 1$$

$$k^2 = \frac{1}{13}$$

$k>0$ なので、

$$k = \frac{1}{\sqrt{13}}$$

したがって、

$$\sin \theta = 2k = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$$

$$\cos \theta = 3k = \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13}$$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{13}}{13}$

$\cos \theta = \frac{3\sqrt{13}}{13}$