$x+y=2\sqrt{5}$、 $xy=1$ のとき、以下の式の値を求める問題です。 (1) $x^2+y^2$ (2) $x^3+y^3$

1. 問題の内容

$x+y=2\sqrt{5}$、 $xy=1$ のとき、以下の式の値を求める問題です。

(1) $x^2+y^2$

(2) $x^3+y^3$

2. 解き方の手順

(1) $x^2+y^2$ の値を求める。

まず、$(x+y)^2$ を展開すると、

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

となります。

したがって、

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

与えられた条件 $x+y=2\sqrt{5}$、 $xy=1$ を代入すると、

$x^2 + y^2 = (2\sqrt{5})^2 - 2(1)$

$x^2 + y^2 = 4 \cdot 5 - 2$

$x^2 + y^2 = 20 - 2$

$x^2 + y^2 = 18$

(2) $x^3+y^3$ の値を求める。

$x^3+y^3$ は $(x+y)(x^2-xy+y^2)$ と因数分解できます。

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$

ここで、$x^2+y^2 = 18$、 $xy=1$ であるので、

$x^2-xy+y^2 = (x^2+y^2) - xy = 18 - 1 = 17$

したがって、

$x^3+y^3 = (2\sqrt{5})(17)$

$x^3+y^3 = 34\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $x^2+y^2 = 18$

(2) $x^3+y^3 = 34\sqrt{5}$