与えられた極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{3n+1}$ を計算します。問題文には、途中の式変形と答えが書かれていますが、ここでは手順を詳しく説明します。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{3n+1}$ を計算します。問題文には、途中の式変形と答えが書かれていますが、ここでは手順を詳しく説明します。

2. 解き方の手順

まず、$n$を無限大に飛ばす際に、分子と分母をそれぞれ$n$で割ります。これにより、$\frac{\infty}{\infty}$の不定形を解消し、極限を計算しやすくします。

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{3n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n}}{\frac{3n+1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{3+\frac{1}{n}}$

次に、極限の性質を利用して、積の極限を計算します。

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{3+\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} n \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3+\frac{1}{n}}$

ここで、$\lim_{n \to \infty} n = \infty$ であり、$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ であることに注意します。したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{3+\frac{1}{n}} = \frac{1}{3+0} = \frac{1}{3}$

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{3n+1} = \infty \cdot \frac{1}{3} = \infty$

3. 最終的な答え

$\infty$