2次関数 $y = ax^2$ のグラフが点 A(4, 2) を通っている。y軸上に点 B を AB = OB （Oは原点）となるようにとる。このとき、以下の問いに答えよ。 (1) 点 B の y 座標を求めよ。 (2) ∠OBA の二等分線の式を求めよ。 (3) 2次関数のグラフ上に点 C をとり、ひし形 OCAD をつくる。点 C の x 座標を $t$ とするとき、$t$ が満たすべき2次方程式を求めよ。また、$t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2$ のグラフが点 A(4, 2) を通っている。y軸上に点 B を AB = OB （Oは原点）となるようにとる。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) 点 B の y 座標を求めよ。

(2) ∠OBA の二等分線の式を求めよ。

(3) 2次関数のグラフ上に点 C をとり、ひし形 OCAD をつくる。点 C の x 座標を $t$ とするとき、$t$ が満たすべき2次方程式を求めよ。また、$t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点 A(4, 2) を $y = ax^2$ に代入して、$a$ の値を求める。

$2 = a \cdot 4^2$

$2 = 16a$

$a = \frac{1}{8}$

したがって、$y = \frac{1}{8}x^2$

点 B の座標を (0, b) とすると、

AB = OB より、

$\sqrt{(4-0)^2 + (2-b)^2} = \sqrt{(0-0)^2 + (b-0)^2}$

$\sqrt{16 + (2-b)^2} = |b|$

両辺を2乗して

$16 + (2-b)^2 = b^2$

$16 + 4 - 4b + b^2 = b^2$

$20 - 4b = 0$

$4b = 20$

$b = 5$

よって、点 B の y 座標は 5。

(2) 点 B の座標は (0, 5) であるから、OB の長さは 5。

AB = OB = 5。

点 A の座標は (4, 2) なので、∠OBA の二等分線は、線分 OA の垂直二等分線と線分 OB の交点を通る直線である。

直線 OB 上の点B(0,5)と原点O(0,0)の中点(0, 5/2)を通る。

直線OAの方程式は、$y = \frac{2}{4}x = \frac{1}{2}x$

直線OAに垂直な直線の傾きは-2

線分OAの中点(2, 1)を通る

求める直線の方程式は、$y = -2x + b$ と置くと

$1 = -2(2) + b$

$1 = -4 + b$

$b = 5$

よって、直線は $y = -2x + 5$

(3) 点 C は $y = \frac{1}{8}x^2$ 上の点なので、C の座標は $(t, \frac{1}{8}t^2)$ と表せる。

ひし形 OCAD より、OC = AD かつ OC // AD である。

OC = $\sqrt{(t-0)^2 + (\frac{1}{8}t^2 - 0)^2} = \sqrt{t^2 + \frac{1}{64}t^4}$

Dの座標を(x, y)とすると

$\vec{OC} = \vec{DA}$

$(t, \frac{1}{8}t^2) = (4-x, 2-y)$

$t = 4 - x$ より $x = 4 - t$

$\frac{1}{8}t^2 = 2 - y$ より $y = 2 - \frac{1}{8}t^2$

Dの座標は $(4-t, 2-\frac{1}{8}t^2)$

ひし形なのでOC = OA

$\sqrt{t^2 + \frac{1}{64}t^4} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20}$

両辺を2乗して

$t^2 + \frac{1}{64}t^4 = 20$

$64t^2 + t^4 = 1280$

$t^4 + 64t^2 - 1280 = 0$

$u = t^2$ とすると

$u^2 + 64u - 1280 = 0$

$(u + 80)(u - 16) = 0$

$u = -80, 16$

$t^2 = -80$ となることはないので、$t^2 = 16$

$t = \pm 4$

C は点 A と異なるので、$t \ne 4$ より $t = -4$

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) $y = -2x + 5$

(3) $t^4 + 64t^2 - 1280 = 0$ , $t = -4$