関数 $f(x) = x^3 - x^2$ について、以下の3つの問いに答える。 (1) $x$ が 1 から 4 まで変化するときの平均変化率 $m$ を求める。 (2) $x=a$ における $f(x)$ の微分係数を求める。 (3) $1 \le x \le 4$ において、(2) の微分係数が (1) の $m$ の値に等しいときの $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - x^2$ について、以下の3つの問いに答える。

(1) $x$ が 1 から 4 まで変化するときの平均変化率 $m$ を求める。

(2) $x=a$ における $f(x)$ の微分係数を求める。

(3) $1 \le x \le 4$ において、(2) の微分係数が (1) の $m$ の値に等しいときの $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平均変化率 $m$ は、変化の割合であり、$\frac{f(4) - f(1)}{4-1}$ で計算できる。

まず、$f(4)$ と $f(1)$ を計算する。

$f(4) = 4^3 - 4^2 = 64 - 16 = 48$

$f(1) = 1^3 - 1^2 = 1 - 1 = 0$

よって、$m = \frac{48 - 0}{4 - 1} = \frac{48}{3} = 16$

(2) $f(x)$ の微分係数 $f'(x)$ は、導関数を求めることで得られる。

$f(x) = x^3 - x^2$ を微分すると、

$f'(x) = 3x^2 - 2x$

$x=a$ における微分係数は $f'(a) = 3a^2 - 2a$

(3) (2) の微分係数 $3a^2 - 2a$ が (1) の $m$ の値 16 に等しいとき、すなわち $3a^2 - 2a = 16$ を解く。

$3a^2 - 2a - 16 = 0$

$(3a - 8)(a + 2) = 0$

$a = \frac{8}{3}, -2$

条件 $1 \le x \le 4$ より、 $1 \le a \le 4$ であるため、$a = \frac{8}{3}$ が解となる。

3. 最終的な答え

ア：16

イ：$3a^2 - 2a$

ウ：$\frac{8}{3}$