曲線 $y = x^4 - 4x$ 上の点 $(-1, 5)$ における接線の方程式と、曲線上の $x=0$ の点における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^4 - 4x$ 上の点 $(-1, 5)$ における接線の方程式と、曲線上の $x=0$ の点における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、接線の傾きを求めるために、与えられた関数を微分します。

$y = x^4 - 4x$ の導関数は、

$\frac{dy}{dx} = 4x^3 - 4$

です。

次に、点 $(-1, 5)$ における接線の傾きを求めます。$x=-1$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx}|_{x=-1} = 4(-1)^3 - 4 = -4 - 4 = -8$

したがって、点 $(-1, 5)$ における接線の傾きは $-8$ です。

接線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ の形で表すことができ、$m$ は傾き、$(x_1, y_1)$ は点です。今回は、$m=-8$, $(x_1, y_1) = (-1, 5)$ なので、

$y - 5 = -8(x - (-1))$

$y - 5 = -8(x + 1)$

$y = -8x - 8 + 5$

$y = -8x - 3$

次に、$x=0$ の点における接線を求めます。$x=0$ のとき、$y = 0^4 - 4(0) = 0$ なので、この点は $(0, 0)$ です。

$x=0$ を導関数に代入して、接線の傾きを求めます。

$\frac{dy}{dx}|_{x=0} = 4(0)^3 - 4 = -4$

したがって、点 $(0, 0)$ における接線の傾きは $-4$ です。

接線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ の形で表すことができ、$m=-4$, $(x_1, y_1) = (0, 0)$ なので、

$y - 0 = -4(x - 0)$

$y = -4x$

3. 最終的な答え

点 $(-1, 5)$ における接線の方程式は、$y = -8x - 3$ です。

点 $x=0$ における接線の方程式は、$y = -4x$ です。