曲線 $y = x^4 - 4x$ 上の点 $(-1, 5)$ における接線の方程式と、曲線上の $x=0$ の点における接線の方程式を求める問題です。

解析学微分接線導関数グラフ
2025/4/8

1. 問題の内容

曲線 y=x44xy = x^4 - 4x 上の点 (1,5)(-1, 5) における接線の方程式と、曲線上の x=0x=0 の点における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、接線の傾きを求めるために、与えられた関数を微分します。
y=x44xy = x^4 - 4x の導関数は、
dydx=4x34\frac{dy}{dx} = 4x^3 - 4
です。
次に、点 (1,5)(-1, 5) における接線の傾きを求めます。x=1x=-1 を代入すると、
dydxx=1=4(1)34=44=8\frac{dy}{dx}|_{x=-1} = 4(-1)^3 - 4 = -4 - 4 = -8
したがって、点 (1,5)(-1, 5) における接線の傾きは 8-8 です。
接線の方程式は、yy1=m(xx1)y - y_1 = m(x - x_1) の形で表すことができ、mm は傾き、(x1,y1)(x_1, y_1) は点です。今回は、m=8m=-8, (x1,y1)=(1,5)(x_1, y_1) = (-1, 5) なので、
y5=8(x(1))y - 5 = -8(x - (-1))
y5=8(x+1)y - 5 = -8(x + 1)
y=8x8+5y = -8x - 8 + 5
y=8x3y = -8x - 3
次に、x=0x=0 の点における接線を求めます。x=0x=0 のとき、y=044(0)=0y = 0^4 - 4(0) = 0 なので、この点は (0,0)(0, 0) です。
x=0x=0 を導関数に代入して、接線の傾きを求めます。
dydxx=0=4(0)34=4\frac{dy}{dx}|_{x=0} = 4(0)^3 - 4 = -4
したがって、点 (0,0)(0, 0) における接線の傾きは 4-4 です。
接線の方程式は、yy1=m(xx1)y - y_1 = m(x - x_1) の形で表すことができ、m=4m=-4, (x1,y1)=(0,0)(x_1, y_1) = (0, 0) なので、
y0=4(x0)y - 0 = -4(x - 0)
y=4xy = -4x

3. 最終的な答え

(1,5)(-1, 5) における接線の方程式は、y=8x3y = -8x - 3 です。
x=0x=0 における接線の方程式は、y=4xy = -4x です。

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