曲線 $C: y = x^3 + 1$ に点 $(0, -1)$ から引いた接線 $\ell$ の方程式と、曲線 $C$ と $\ell$ との接点を通り、$\ell$ に垂直な直線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = x^3 + 1$ に点 $(0, -1)$ から引いた接線 $\ell$ の方程式と、曲線 $C$ と $\ell$ との接点を通り、$\ell$ に垂直な直線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 接線の方程式を求める。

曲線 $C: y = x^3 + 1$ 上の点 $(t, t^3 + 1)$ における接線の方程式は、

$y' = 3x^2$ より、

$y - (t^3 + 1) = 3t^2(x - t)$

$y = 3t^2x - 3t^3 + t^3 + 1$

$y = 3t^2x - 2t^3 + 1$

この接線が点 $(0, -1)$ を通るので、

$-1 = 3t^2(0) - 2t^3 + 1$

$-1 = -2t^3 + 1$

$2t^3 = 2$

$t^3 = 1$

$t = 1$

よって、接点は $(1, 2)$ であり、接線の方程式は、

$y = 3(1)^2x - 2(1)^3 + 1$

$y = 3x - 2 + 1$

$y = 3x - 1$

(2) 接線に垂直な直線の方程式を求める。

接線 $\ell$ の傾きは $3$ なので、$\ell$ に垂直な直線の傾きは $-\frac{1}{3}$ である。

接点 $(1, 2)$ を通り、傾きが $-\frac{1}{3}$ の直線の方程式は、

$y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 1)$

$y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3} + 2$

$y = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$

3. 最終的な答え

接線 $\ell$ の方程式は、$y = 3x - 1$

$\ell$ に垂直な直線の方程式は、$y = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$