与えられた式 $(a+b-c-d)(a-b-c+d)$ を展開し、簡略化すること。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b-c-d)(a-b-c+d)$ を展開し、簡略化すること。

2. 解き方の手順

式を次のように書き換えます。

$(a+b-c-d)(a-b-c+d) = [a-(c+d)+b][a-(c-d)-b]$

ここで、$A = a-(c+d)$, $B=b$, $C=a-(c-d)$ とおくと、式は

$[A+B][C-B]$ となります。

この式を展開すると、

$AC - AB + BC - B^2$ となります。

ここで$A, B, C$をもとに戻すと

$[a-(c+d)][a-(c-d)]-[a-(c+d)]b +b[a-(c-d)]-b^2$ となります。

$[a-(c+d)][a-(c-d)]-ab+b(c+d)+ab-b(c-d)-b^2$

$[a-(c+d)][a-(c-d)]+b(c+d)-b(c-d)-b^2$

$[a-(c+d)][a-(c-d)]+bc+bd-bc+bd-b^2$

$[a-(c+d)][a-(c-d)]+2bd-b^2$

さらに、$[a-(c+d)][a-(c-d)] = a^2-a(c-d)-a(c+d)+(c+d)(c-d) = a^2-ac+ad-ac-ad+c^2-d^2= a^2-2ac+c^2-d^2$

これを代入して

$a^2-2ac+c^2-d^2+2bd-b^2 = a^2-b^2+c^2-d^2-2ac+2bd$

$a^2 - b^2 - 2ac + 2bd + c^2 - d^2$

次に、与えられた式を展開します。

$(a+b-c-d)(a-b-c+d) = a(a-b-c+d) + b(a-b-c+d) - c(a-b-c+d) - d(a-b-c+d)$

$= a^2 -ab -ac+ad + ab-b^2-bc+bd -ac+bc+c^2-cd -ad+bd+cd-d^2$

$= a^2-b^2+c^2-d^2 -2ac+2bd$

$=a^2-b^2+c^2-d^2 -2(ac-bd)$

3. 最終的な答え

$a^2 - b^2 + c^2 - d^2 - 2ac + 2bd$