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2次方程式 $3x^2 + (k+2)x + k+2 = 0$ が重解を持つとき、正の定数 $k$ の値を求めよ。

代数学二次方程式判別式重解
2025/4/8

1. 問題の内容

2次方程式 3x2+(k+2)x+k+2=03x^2 + (k+2)x + k+2 = 0 が重解を持つとき、正の定数 kk の値を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つための条件は、判別式 DD が D=0D=0 となることです。
この問題の場合、判別式 DD は次のように計算されます。
D=(k+2)2−4⋅3⋅(k+2)D = (k+2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (k+2)
D=(k+2)2−12(k+2)D = (k+2)^2 - 12(k+2)
重解を持つ条件 D=0D=0 より、
(k+2)2−12(k+2)=0(k+2)^2 - 12(k+2) = 0
(k+2)(k+2−12)=0(k+2)(k+2 - 12) = 0
(k+2)(k−10)=0(k+2)(k-10) = 0
したがって、k=−2k = -2 または k=10k = 10 となります。
問題文より、kk は正の定数であるため、k=10k = 10 となります。

3. 最終的な答え

k=10k = 10

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