与えられた式 $(a-3b-3c)(a+3b+3c)$ を展開し、$a^2 - [11]b^2 - [12]c^2 - [13][14]bc$ の形になるように、空欄 $[11]$, $[12]$, $[13]$, $[14]$ に入る数字を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a-3b-3c)(a+3b+3c)$ を展開し、$a^2 - [11]b^2 - [12]c^2 - [13][14]bc$ の形になるように、空欄 $[11]$, $[12]$, $[13]$, $[14]$ に入る数字を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$(a-3b-3c)(a+3b+3c)$

$= a(a+3b+3c) -3b(a+3b+3c) -3c(a+3b+3c)$

$= a^2 + 3ab + 3ac - 3ab - 9b^2 - 9bc - 3ac - 9bc - 9c^2$

$= a^2 - 9b^2 - 9c^2 - 18bc$

次に、$a^2 - [11]b^2 - [12]c^2 - [13][14]bc$ と比較して、係数を決定します。

$a^2 - 9b^2 - 9c^2 - 18bc = a^2 - [11]b^2 - [12]c^2 - [13][14]bc$

したがって、

$[11] = 9$

$[12] = 9$

$[13][14] = 18$

$[13] = 18$の場合、$[14] = 1$となり、

$[13] = 6$の場合、$[14] = 3$となり、

$[13] = 3$の場合、$[14] = 6$となり、

$[13] = 2$の場合、$[14] = 9$となり、

$[13] = 9$の場合、$[14] = 2$となり、

$[13] = 1$の場合、$[14] = 18$となります。

画像から推測するに、[13]と[14]は一桁の数字である可能性が高いため、$[13]=18, [14]=1$はありえません。

最も妥当なのは、$18 = 18 \times 1$、$18 = 9 \times 2$、$18 = 6 \times 3$、$18 = 3 \times 6$、$18 = 2 \times 9$、$18 = 1 \times 18$ですが、

画像から判断するに、$[13] = 18$となるのは明らかに不適切であり、また$[14] = 18$となるのも不適切です。

しかしながら、問題文にはそのような制約はないため、$18bc$を単純に分解し、$[13]=18$, $[14]=1$としても構わないと考えられます。

仮に$[13]=18, [14]=1$とするならば、

$[11] = 9$

$[12] = 9$

$[13] = 18$

$[14] = 1$

3. 最終的な答え

11: 9

12: 9

13: 18

14: 1