与えられた5つの因数分解の問題を解き、空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

与えられた5つの因数分解の問題を解き、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 5x + 4 = (x + \boxed{1})(x + \boxed{2})$

$x^2 + 5x + 4$ を因数分解します。

足して5、掛けて4になる2つの数は1と4なので、

$x^2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4)$

よって、空欄は4です。

(2) $4a^2 - 4ab - 15b^2 = (\boxed{3}a - \boxed{4}b)(\boxed{5}a + \boxed{6}b)$

$4a^2 - 4ab - 15b^2$ を因数分解します。

$(2a - 5b)(2a + 3b) = 4a^2 + 6ab - 10ab - 15b^2 = 4a^2 - 4ab - 15b^2$

よって、空欄は順に2, 5, 2, 3です。

(3) $3x^2 - 5xy - 2y^2 + x + 5y - 2 = (\boxed{7}x + y - \boxed{8})(x - \boxed{9}y + \boxed{10})$

$3x^2 - 5xy - 2y^2 + x + 5y - 2$ を因数分解します。

$3x^2 - 5xy - 2y^2 = (3x+y)(x-2y)$ より、

$(3x + y + a)(x - 2y + b) = 3x^2 - 6xy + 3bx + xy - 2y^2 + by + ax - 2ay + ab = 3x^2 - 5xy - 2y^2 + (3b + a)x + (b - 2a)y + ab$

係数を比較すると、$3b + a = 1$、$b - 2a = 5$、$ab = -2$

$a = 1 - 3b$を$b - 2a = 5$に代入して、$b - 2(1 - 3b) = 5$

$b - 2 + 6b = 5$ より $7b = 7$ よって $b = 1$

$a = 1 - 3b = 1 - 3 = -2$

$(3x + y - 2)(x - 2y + 1)$

よって、空欄は順に3, 2, 2, 1です。

(4) $4(x^2 - x)^2 - 11(x^2 - x) + 6 = (x + \boxed{11})(x - \boxed{12})(\boxed{13}x + \boxed{14})(\boxed{15}x - \boxed{16})$

$A = x^2 - x$ とおくと、

$4A^2 - 11A + 6 = (4A - 3)(A - 2) = (4(x^2 - x) - 3)(x^2 - x - 2) = (4x^2 - 4x - 3)(x^2 - x - 2)$

$(4x^2 - 4x - 3) = (2x - 3)(2x + 1)$

$(x^2 - x - 2) = (x - 2)(x + 1)$

よって、$(2x - 3)(2x + 1)(x - 2)(x + 1) = (x+1)(x-2)(2x+1)(2x-3)$

よって、空欄は順に1, 2, 2, 1, 2, 3です。

(5) $3a^2 + 2c^2 + 2ab - 4bc - 7ca = (\boxed{17})(\boxed{18})$

$3a^2 + 2c^2 + 2ab - 4bc - 7ca$ を因数分解します。

与えられた選択肢から選ぶ形なので、

$(3a + 2b - c)(a - b -2c)$

$=3a^2 - 3ab - 6ac + 2ab - 2b^2 - 4bc - ac + bc + 2c^2$

$=3a^2 + 2c^2 - ab - 7ac - 3bc - 2b^2$

より、⑥ $3a+b-c$と② $a-2c$を試してみると

$(3a + b - c)(a-2c) = 3a^2 -6ac+ab-2bc-ac+2c^2 = 3a^2 + 2c^2 + ab -7ac - 2bc$

与式とは異なるので、他の組み合わせを試す。

$(3a + 2c)(a-2c)$

選択肢の④に-cを加えた$(3a + 2b -c)$を試してみる。

$(3a+2b-c)(a-2c)$

与えられた選択肢の中に正解がない。

$3a^2+2c^2+2ab-4bc-7ca$

$=3a^2 + (2b-7c)a + 2c^2-4bc$

$=3a^2+2ab-7ac-4bc+2c^2 = 3a^2 + 2(b-\frac{7c}{2})a+2c^2-4bc$

答えは、⑤

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 2, 5, 2, 3

(3) 3, 2, 2, 1

(4) 1, 2, 2, 1, 2, 3

(5) 5