## 問題の内容

## 問題の内容

次の4つの方程式の異なる実数解の個数を求める問題です。

(1) $x^3 - 3x^2 + 4 = 0$

(2) $2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 = 0$

(3) $x^3 - 3x^2 + 3x + 2 = 0$

(4) $3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 = 0$

## 解き方の手順

各方程式について、実数解の個数を調べます。高次方程式なので、因数分解や微分を利用してグラフの概形を把握することで解の個数を調べます。

**(1) $x^3 - 3x^2 + 4 = 0$**

* 因数定理を利用して因数分解を試みます。$x = -1$ を代入すると $(-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0$ なので、$x + 1$ を因数に持ちます。

* 組み立て除法または筆算により、$x^3 - 3x^2 + 4 = (x + 1)(x^2 - 4x + 4) = (x + 1)(x - 2)^2$ と因数分解できます。

* したがって、解は $x = -1$ と $x = 2$ （重解）です。異なる実数解の個数は2個です。

**(2) $2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 = 0$**

* $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$ とおきます。

* 微分して増減を調べます。$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x - 2)(x + 1)$ です。

* $f'(x) = 0$ となるのは $x = -1, 2$ です。

* 増減表を作成します。

| x | ... | -1 | ... | 2 | ... |

| :----- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↑ | | ↓ | | ↑ |

* $f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 5 = -2 - 3 + 12 + 5 = 12$

* $f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 5 = 16 - 12 - 24 + 5 = -15$

* $x \to -\infty$ のとき $f(x) \to -\infty$ であり、$x \to \infty$ のとき $f(x) \to \infty$ であることと、増減表から、$f(x) = 0$ は3つの異なる実数解を持ちます。

**(3) $x^3 - 3x^2 + 3x + 2 = 0$**

* $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 2$ とおきます。

* 微分して増減を調べます。$f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x - 1)^2$ です。

* $f'(x) = 0$ となるのは $x = 1$ のみです。

* 増減表を作成します。

| x | ... | 1 | ... |

| :----- | :---- | :---- | :---- |

| f'(x) | + | 0 | + |

| f(x) | ↑ | | ↑ |

* $f(1) = 1 - 3 + 3 + 2 = 3$

* $f(x)$ は常に増加しており、$x \to -\infty$ のとき $f(x) \to -\infty$ であり、$x \to \infty$ のとき $f(x) \to \infty$ であることから、$f(x) = 0$ は1つの実数解を持ちます。

**(4) $3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 = 0$**

* $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5$ とおきます。

* 微分して増減を調べます。$f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x = 12x(x^2 - x - 2) = 12x(x - 2)(x + 1)$ です。

* $f'(x) = 0$ となるのは $x = -1, 0, 2$ です。

* 増減表を作成します。

| x | ... | -1 | ... | 0 | ... | 2 | ... |

| :----- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↓ | | ↑ | | ↓ | | ↑ |

* $f(-1) = 3 + 4 - 12 + 5 = 0$

* $f(0) = 5$

* $f(2) = 3(16) - 4(8) - 12(4) + 5 = 48 - 32 - 48 + 5 = -27$

* $x \to -\infty$ のとき $f(x) \to \infty$ であり、$x \to \infty$ のとき $f(x) \to \infty$ であること、及び$f(-1)=0$と$f(2)=-27$から、$f(x) = 0$は$x = -1$を解に持ち、かつそれ以外にも2つの異なる実数解を持つので合計3つの実数解を持ちます。

## 最終的な答え

(1) 2個

(2) 3個

(3) 1個

(4) 3個