$0^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\tan \theta = -3$ のときの $\cos \theta$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\tan \theta = -3$ のときの $\cos \theta$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$\tan \theta = -3$ であることから、$\theta$ は第2象限の角であることがわかります。なぜなら、$0^\circ < \theta < 180^\circ$ の範囲で、$\tan \theta$ が負の値を取るのは第2象限のみだからです。

$\tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ という関係式を利用します。

$\tan \theta = -3$ を代入すると、

$(-3)^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$9 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$10 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{10}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{1}{10}}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}$

$\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\theta$ は第2象限の角なので、$\cos \theta$ は負の値をとります。したがって、

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{10}}{10}$