三角形ABCにおいて、$BC=7$, $CA=3$, $\angle A = 60^\circ$のとき、$AB$の長さを求め、さらに$\sin C$の値を求める問題です。 ただし、$AB$の長さは問題文に与えられており、そこが8と書かれていることから、$AB=8$である可能性が示唆されていますが、ここではコサイン定理を用いて$AB$の長さを計算して求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$BC=7$, $CA=3$, $\angle A = 60^\circ$のとき、$AB$の長さを求め、さらに$\sin C$の値を求める問題です。

ただし、$AB$の長さは問題文に与えられており、そこが8と書かれていることから、$AB=8$である可能性が示唆されていますが、ここではコサイン定理を用いて$AB$の長さを計算して求めます。

2. 解き方の手順

まず、$AB$の長さを求めます。三角形ABCにおいて、コサイン定理より、

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2AB \cdot CA \cdot \cos A$

が成り立ちます。

$BC=7$, $CA=3$, $\angle A = 60^\circ$を代入すると、

$7^2 = AB^2 + 3^2 - 2 \cdot AB \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ$

$49 = AB^2 + 9 - 6AB \cdot \frac{1}{2}$

$49 = AB^2 + 9 - 3AB$

$AB^2 - 3AB - 40 = 0$

$(AB - 8)(AB + 5) = 0$

$AB > 0$より、$AB = 8$となります。

次に、$\sin C$の値を求めます。正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$

が成り立ちます。

$BC=7$, $AB=8$, $\angle A = 60^\circ$を代入すると、

$\frac{7}{\sin 60^\circ} = \frac{8}{\sin C}$

$\sin C = \frac{8 \sin 60^\circ}{7} = \frac{8}{7} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

3. 最終的な答え

$AB = 8$

$\sin C = \frac{4\sqrt{3}}{7}$