三角形ABCにおいて、$AB = 4$, $CA = 2$, $\angle BAC = 135^\circ$である。このとき、$\triangle ABC$の面積と、$\angle BAD = 45^\circ$となるような辺BC上の点Dに対するADの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 4$, $CA = 2$, $\angle BAC = 135^\circ$である。このとき、$\triangle ABC$の面積と、$\angle BAD = 45^\circ$となるような辺BC上の点Dに対するADの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$の面積を求める。三角形の面積は、$S = \frac{1}{2}ab\sin C$で計算できる。この場合、$a = AB = 4$, $b = AC = 2$, $C = \angle BAC = 135^\circ$であるから、

$S = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 \times \sin 135^\circ$

$\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$なので、

$S = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

(2) ADの長さを求める。

$\angle BAD = 45^\circ$であることから、$\angle CAD = \angle BAC - \angle BAD = 135^\circ - 45^\circ = 90^\circ$である。

$\triangle ABD$の面積と$\triangle ACD$の面積の和が$\triangle ABC$の面積に等しいことを利用する。

$\triangle ABD = \frac{1}{2} \times AB \times AD \times \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \times 4 \times AD \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} AD$

$\triangle ACD = \frac{1}{2} \times AC \times AD \times \sin 90^\circ = \frac{1}{2} \times 2 \times AD \times 1 = AD$

$\triangle ABC = \triangle ABD + \triangle ACD$であるから、$2\sqrt{2} = \sqrt{2} AD + AD = (\sqrt{2} + 1)AD$

$AD = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{2 - 1} = 2\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1) = 4 - 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\triangle ABC$の面積は$2\sqrt{2}$。

ADの長さは$4 - 2\sqrt{2}$。