3次関数 $y = x^3 - 3x^2 - 5x$ のグラフと直線 $y = 4x + a$ の共有点の個数を、$a$ の値によって場合分けして求めます。

1. 問題の内容

3次関数 $y = x^3 - 3x^2 - 5x$ のグラフと直線 $y = 4x + a$ の共有点の個数を、$a$ の値によって場合分けして求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 - 3x^2 - 5x = 4x + a$ を変形して、$x^3 - 3x^2 - 9x - a = 0$ を得ます。

この3次方程式の解の個数が、グラフの共有点の個数に一致します。

$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x$ とおくと、これは $f(x) = a$ の解の個数と考えることができます。

$f(x)$ の増減を調べるために、微分を行います。

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 3, -1$ のときです。

増減表は次のようになります。

| x | ... | -1 | ... | 3 | ... |

|-----|-----|-----|-----|----|-----|

| f'(x)| + | 0 | - | 0 | + |

| f(x)| ↑ | 極大 | ↓ | 極小| ↑ |

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) = -1 - 3 + 9 = 5$

$f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) = 27 - 27 - 27 = -27$

したがって、$f(x)$ は $x = -1$ で極大値 5 をとり、$x = 3$ で極小値 -27 をとります。

$y=f(x)$ のグラフと直線 $y=a$ との共有点の個数は、

- $a < -27$ のとき 1個

- $a = -27$ のとき 2個

- $-27 < a < 5$ のとき 3個

- $a = 5$ のとき 2個

- $a > 5$ のとき 1個

3. 最終的な答え

$a < -27$ のとき 1個

$a = -27$ のとき 2個

$-27 < a < 5$ のとき 3個

$a = 5$ のとき 2個

$a > 5$ のとき 1個

したがって、答えは以下のようになります。

$a < -27$, 1個

$a = -27$, 2個

$-27 < a < 5$, 3個

$a = 5$, 2個

$a > 5$, 1個