放物線 $y = x^2 + ax + b$ (1) があり、以下の3つの問いに答えます。 (1) 点 $(-3, 4)$ を通ることから、$b$ を $a$ を用いて表します。 (2) 放物線(1)が $x$ 軸と異なる2点A, Bで交わるような $a$ の値の範囲を求めます。さらに、AB=2となるような $a$ の値を求めます。 (3) $-2 < x < 0$ において、放物線(1)が $x$ 軸と1点のみを共有するような $a$ の条件を求めます。

はい、承知いたしました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + ax + b$ (1) があり、以下の3つの問いに答えます。

(1) 点 $(-3, 4)$ を通ることから、$b$ を $a$ を用いて表します。

(2) 放物線(1)が $x$ 軸と異なる2点A, Bで交わるような $a$ の値の範囲を求めます。さらに、AB=2となるような $a$ の値を求めます。

(3) $-2 < x < 0$ において、放物線(1)が $x$ 軸と1点のみを共有するような $a$ の条件を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 放物線(1)が点 $(-3, 4)$ を通るので、代入します。

$4 = (-3)^2 + a(-3) + b$

$4 = 9 - 3a + b$

$b = 3a - 5$

(2) 放物線(1)が $x$ 軸と異なる2点で交わる条件は、判別式 $D > 0$ です。

$D = a^2 - 4b = a^2 - 4(3a - 5) = a^2 - 12a + 20 > 0$

$(a - 2)(a - 10) > 0$

よって、$a < 2$ または $a > 10$

次に、AB=2となるような $a$ の値を求めます。

$x^2 + ax + b = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = -a$

$\alpha \beta = b = 3a - 5$

$AB = |\alpha - \beta| = 2$

$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = a^2 - 4(3a - 5) = a^2 - 12a + 20 = 4$

$a^2 - 12a + 16 = 0$

$a = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 64}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{12 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{5}$

$a = 6 \pm 2\sqrt{5}$ は $a < 2$ または $a > 10$ を満たします。

$6 + 2\sqrt{5} \approx 6 + 2(2.236) = 6 + 4.472 = 10.472 > 10$

$6 - 2\sqrt{5} \approx 6 - 4.472 = 1.528 < 2$

したがって、$a = 6 \pm 2\sqrt{5}$

(3) $-2 < x < 0$ において、放物線(1)が $x$ 軸と1点のみを共有する条件を求めます。

$y = x^2 + ax + 3a - 5$

$y = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 12a + 20}}{2}$

1つの解のみが $-2 < x < 0$ に存在する場合を考えます。

$f(x) = x^2 + ax + 3a - 5$ とすると、

$f(-2)f(0) < 0$ または $f(-2)=0$ または $f(0)=0$

まず、$f(0) = 3a - 5 = 0$ のとき $a = \frac{5}{3}$

このとき $f(x) = x^2 + \frac{5}{3}x = x(x + \frac{5}{3})$ となり、$x = 0, -\frac{5}{3}$

$-\frac{5}{3} = -1.666...$ であり、$-2 < -\frac{5}{3} < 0$ なので、$a = \frac{5}{3}$ は条件を満たします。

次に、$f(-2) = 4 - 2a + 3a - 5 = a - 1 = 0$ のとき $a = 1$

このとき $f(x) = x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$ となり、$x = -2, 1$

$x = -2$ は $-2 < x < 0$ を満たさないので、$a=1$ は条件を満たします。

最後に、$f(-2)f(0) < 0$ のとき、 $(a - 1)(3a - 5) < 0$

$\frac{5}{3} < a < 1$ または $1 < a < \frac{5}{3}$

$1 < a < \frac{5}{3}$

以上より、$a = 1$ または $a = \frac{5}{3}$ または $1 < a < \frac{5}{3}$

$1 \le a \le \frac{5}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $b = 3a - 5$

(2) $a < 2$ または $a > 10$。$a = 6 \pm 2\sqrt{5}$

(3) $1 \le a \le \frac{5}{3}$