三角形ABCにおいて、$AB=8$, $BC=7$, $CA=5$である。内心をI、外心Oとする。 (1) 角Aの大きさと、三角形ABCの面積を求める。 (2) Iから辺ABに下ろした垂線とABとの交点をHとするとき、IHとAHの長さを求める。 (3) OAの長さを求めよ。また、辺ABの中点をMとするとき、OMとOIの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=8$, $BC=7$, $CA=5$である。内心をI、外心Oとする。

(1) 角Aの大きさと、三角形ABCの面積を求める。

(2) Iから辺ABに下ろした垂線とABとの交点をHとするとき、IHとAHの長さを求める。

(3) OAの長さを求めよ。また、辺ABの中点をMとするとき、OMとOIの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて$\cos A$を求める。

$\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{8^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 5} = \frac{64+25-49}{80} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$

よって、$A = 60^\circ$

三角形ABCの面積Sは、

$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

(2) IHの長さは$\sqrt{3}$、AHの長さは3と与えられている。

(3) OAの長さは$\frac{7\sqrt{3}}{3}$、OMの長さは$\frac{\sqrt{3}}{3}$、OIの長さは$\frac{\sqrt{21}}{3}$と与えられている。

正弦定理より、$\frac{BC}{\sin A} = 2R$ (Rは外接円の半径)

$\frac{7}{\sin 60^\circ} = 2R$

$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$\frac{14}{\sqrt{3}} = 2R$

$R = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

よって、$OA = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

MはABの中点なので、$AM = \frac{1}{2}AB = 4$

三角形OAMにおいて、$OA = \frac{7\sqrt{3}}{3}$、$AM = 4$、$OMA = 90^\circ$

$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{(\frac{7\sqrt{3}}{3})^2 - 4^2} = \sqrt{\frac{49 \cdot 3}{9} - 16} = \sqrt{\frac{49}{3} - \frac{48}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

OIの長さは、オイラーの定理により、

$OI^2 = R^2 - 2Rr$ (rは内接円の半径)

三角形ABCの面積は$10\sqrt{3}$、内接円の半径rは、$S = \frac{1}{2}(AB+BC+CA)r$より、$10\sqrt{3} = \frac{1}{2}(8+7+5)r = \frac{1}{2}(20)r = 10r$

よって、$r = \sqrt{3}$

$OI^2 = (\frac{7\sqrt{3}}{3})^2 - 2 \cdot \frac{7\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{49 \cdot 3}{9} - \frac{14 \cdot 3}{3} = \frac{49}{3} - 14 = \frac{49 - 42}{3} = \frac{7}{3}$

$OI = \sqrt{\frac{7}{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\angle A = 60^\circ$, $\triangle ABC = 10\sqrt{3}$

(2) $IH = \sqrt{3}$, $AH = 3$

(3) $OA = \frac{7\sqrt{3}}{3}$, $OM = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $OI = \frac{\sqrt{21}}{3}$