(1) $f'(x) = (3x+2)^2$ かつ $f(-1) = 0$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。 (2) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(x, y)$ における接線の傾きが $2x$ であり、$y = f(x)$ が点 $(0, 1)$ を通るとき、$f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $f'(x) = (3x+2)^2$ かつ $f(-1) = 0$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

(2) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(x, y)$ における接線の傾きが $2x$ であり、$y = f(x)$ が点 $(0, 1)$ を通るとき、$f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$f'(x) = (3x+2)^2$ を積分して、$f(x)$ を求める。

$f(x) = \int (3x+2)^2 dx = \int (9x^2 + 12x + 4) dx = 3x^3 + 6x^2 + 4x + C$

ここで、$f(-1) = 0$ より、

$f(-1) = 3(-1)^3 + 6(-1)^2 + 4(-1) + C = -3 + 6 - 4 + C = -1 + C = 0$

よって、$C = 1$。

したがって、$f(x) = 3x^3 + 6x^2 + 4x + 1$

(2)

接線の傾きが $2x$ であることから、$f'(x) = 2x$ がわかる。

$f(x) = \int 2x dx = x^2 + C$

ここで、$y = f(x)$ が点 $(0, 1)$ を通ることから、$f(0) = 1$ がわかる。

$f(0) = (0)^2 + C = C = 1$

よって、$C = 1$。

したがって、$f(x) = x^2 + 1$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = 3x^3 + 6x^2 + 4x + 1$

(2) $f(x) = x^2 + 1$