与えられた4つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{1}^{2} (3x^2 + 4x - 5) dx$ (2) $2\int_{1}^{3} (x-1) dx - \int_{1}^{3} (2x-3) dx$ (3) $\int_{-1}^{2} (x+1)(x-2)^2 dx$ (4) $\int_{-1}^{3} |x(x+2)| dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{1}^{2} (3x^2 + 4x - 5) dx$

(2) $2\int_{1}^{3} (x-1) dx - \int_{1}^{3} (2x-3) dx$

(3) $\int_{-1}^{2} (x+1)(x-2)^2 dx$

(4) $\int_{-1}^{3} |x(x+2)| dx$

2. 解き方の手順

(1)

まず、不定積分を計算します。

$\int (3x^2 + 4x - 5) dx = x^3 + 2x^2 - 5x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{2} (3x^2 + 4x - 5) dx = [x^3 + 2x^2 - 5x]_{1}^{2} = (2^3 + 2(2^2) - 5(2)) - (1^3 + 2(1^2) - 5(1)) = (8 + 8 - 10) - (1 + 2 - 5) = 6 - (-2) = 8$

(2)

まず、それぞれの不定積分を計算します。

$\int (x-1) dx = \frac{1}{2}x^2 - x + C_1$

$\int (2x-3) dx = x^2 - 3x + C_2$

次に、定積分を計算します。

$2\int_{1}^{3} (x-1) dx = 2[\frac{1}{2}x^2 - x]_{1}^{3} = 2[(\frac{1}{2}(3^2) - 3) - (\frac{1}{2}(1^2) - 1)] = 2[(\frac{9}{2} - 3) - (\frac{1}{2} - 1)] = 2[\frac{3}{2} - (-\frac{1}{2})] = 2[\frac{4}{2}] = 4$

$\int_{1}^{3} (2x-3) dx = [x^2 - 3x]_{1}^{3} = (3^2 - 3(3)) - (1^2 - 3(1)) = (9 - 9) - (1 - 3) = 0 - (-2) = 2$

したがって、$2\int_{1}^{3} (x-1) dx - \int_{1}^{3} (2x-3) dx = 4 - 2 = 2$

(3)

まず、展開します。

$(x+1)(x-2)^2 = (x+1)(x^2 - 4x + 4) = x^3 - 4x^2 + 4x + x^2 - 4x + 4 = x^3 - 3x^2 + 4$

次に、不定積分を計算します。

$\int (x^3 - 3x^2 + 4) dx = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 4x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{-1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 4) dx = [\frac{1}{4}x^4 - x^3 + 4x]_{-1}^{2} = (\frac{1}{4}(2^4) - (2^3) + 4(2)) - (\frac{1}{4}(-1)^4 - (-1)^3 + 4(-1)) = (4 - 8 + 8) - (\frac{1}{4} + 1 - 4) = 4 - (\frac{1}{4} - 3) = 4 - (-\frac{11}{4}) = 4 + \frac{11}{4} = \frac{16}{4} + \frac{11}{4} = \frac{27}{4}$

(4)

$|x(x+2)|$ の積分を計算します。

$x(x+2) = x^2 + 2x$

$x(x+2) = 0$ となるのは $x=0$ または $x=-2$ のときです。

$-2 \le x \le 0$ のとき、$x(x+2) \le 0$ であり、それ以外のとき、$x(x+2) \ge 0$ です。

したがって、

$\int_{-1}^{3} |x(x+2)| dx = \int_{-1}^{0} -x(x+2) dx + \int_{0}^{3} x(x+2) dx = \int_{-1}^{0} (-x^2 - 2x) dx + \int_{0}^{3} (x^2 + 2x) dx$

$\int (-x^2 - 2x) dx = -\frac{1}{3}x^3 - x^2 + C_1$

$\int (x^2 + 2x) dx = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + C_2$

$\int_{-1}^{0} (-x^2 - 2x) dx = [-\frac{1}{3}x^3 - x^2]_{-1}^{0} = (0) - (-\frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2) = 0 - (\frac{1}{3} - 1) = 0 - (-\frac{2}{3}) = \frac{2}{3}$

$\int_{0}^{3} (x^2 + 2x) dx = [\frac{1}{3}x^3 + x^2]_{0}^{3} = (\frac{1}{3}(3^3) + 3^2) - (0) = (9 + 9) = 18$

$\int_{-1}^{3} |x(x+2)| dx = \frac{2}{3} + 18 = \frac{2}{3} + \frac{54}{3} = \frac{56}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 8

(2) 2

(3) 27/4

(4) 56/3