与えられた放物線とx軸、そして指定された直線で囲まれた部分の面積を計算する問題です。具体的には、以下の3つの小問があります。 (1) 放物線 $y = 3x^2 - 4x + 5$ とx軸、直線 $x = -1$ および $x = 2$ で囲まれた部分の面積を求めます。 (2) 放物線 $y = x^2 + 2x - 3$ とx軸で囲まれた部分の面積を求めます。 (3) 放物線 $y = -2x^2 + 7x - 5$ とx軸で囲まれた部分の面積を求めます。

## 数学の問題

1. **問題の内容**

与えられた放物線とx軸、そして指定された直線で囲まれた部分の面積を計算する問題です。具体的には、以下の3つの小問があります。

(1) 放物線 $y = 3x^2 - 4x + 5$ とx軸、直線 $x = -1$ および $x = 2$ で囲まれた部分の面積を求めます。

(2) 放物線 $y = x^2 + 2x - 3$ とx軸で囲まれた部分の面積を求めます。

(3) 放物線 $y = -2x^2 + 7x - 5$ とx軸で囲まれた部分の面積を求めます。

2. **解き方の手順**

**(1) 放物線 $y = 3x^2 - 4x + 5$ とx軸、直線 $x = -1$ および $x = 2$ で囲まれた部分の面積**

まず、$y = 3x^2 - 4x + 5$ が $x = -1$ から $x = 2$ の範囲で常に正の値をとることを確認します。判別式 $D = (-4)^2 - 4(3)(5) = 16 - 60 = -44 < 0$ であり、$x^2$ の係数が正であるため、この放物線は常に正の値をとります。したがって、面積は定積分で計算できます。

$S = \int_{-1}^{2} (3x^2 - 4x + 5) dx$

$S = [x^3 - 2x^2 + 5x]_{-1}^{2}$

$S = (2^3 - 2(2^2) + 5(2)) - ((-1)^3 - 2(-1)^2 + 5(-1))$

$S = (8 - 8 + 10) - (-1 - 2 - 5)$

$S = 10 - (-8) = 18$

**(2) 放物線 $y = x^2 + 2x - 3$ とx軸で囲まれた部分の面積**

まず、放物線 $y = x^2 + 2x - 3$ とx軸との交点を求めます。

$x^2 + 2x - 3 = 0$

$(x + 3)(x - 1) = 0$

$x = -3, 1$

したがって、積分範囲は $x = -3$ から $x = 1$ です。この範囲で $y = x^2 + 2x - 3$ は負の値をとるので、積分値を絶対値にする必要があります。

$S = \left| \int_{-3}^{1} (x^2 + 2x - 3) dx \right|$

$S = \left| \left[\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x\right]_{-3}^{1} \right|$

$S = \left| \left(\frac{1}{3}(1)^3 + (1)^2 - 3(1)\right) - \left(\frac{1}{3}(-3)^3 + (-3)^2 - 3(-3)\right) \right|$

$S = \left| \left(\frac{1}{3} + 1 - 3\right) - \left(\frac{1}{3}(-27) + 9 + 9\right) \right|$

$S = \left| \left(\frac{1}{3} - 2\right) - (-9 + 18) \right|$

$S = \left| -\frac{5}{3} - 9 \right| = \left| -\frac{5}{3} - \frac{27}{3} \right| = \left| -\frac{32}{3} \right| = \frac{32}{3}$

**(3) 放物線 $y = -2x^2 + 7x - 5$ とx軸で囲まれた部分の面積**

まず、放物線 $y = -2x^2 + 7x - 5$ とx軸との交点を求めます。

$-2x^2 + 7x - 5 = 0$

$2x^2 - 7x + 5 = 0$

$(2x - 5)(x - 1) = 0$

$x = 1, \frac{5}{2}$

したがって、積分範囲は $x = 1$ から $x = \frac{5}{2}$ です。この範囲で $y = -2x^2 + 7x - 5$ は正の値をとります。

$S = \int_{1}^{\frac{5}{2}} (-2x^2 + 7x - 5) dx$

$S = \left[-\frac{2}{3}x^3 + \frac{7}{2}x^2 - 5x\right]_{1}^{\frac{5}{2}}$

$S = \left(-\frac{2}{3}\left(\frac{5}{2}\right)^3 + \frac{7}{2}\left(\frac{5}{2}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{2}\right)\right) - \left(-\frac{2}{3}(1)^3 + \frac{7}{2}(1)^2 - 5(1)\right)$

$S = \left(-\frac{2}{3}\left(\frac{125}{8}\right) + \frac{7}{2}\left(\frac{25}{4}\right) - \frac{25}{2}\right) - \left(-\frac{2}{3} + \frac{7}{2} - 5\right)$

$S = \left(-\frac{125}{12} + \frac{175}{8} - \frac{25}{2}\right) - \left(-\frac{4}{6} + \frac{21}{6} - \frac{30}{6}\right)$

$S = \left(-\frac{250}{24} + \frac{525}{24} - \frac{300}{24}\right) - \left(-\frac{13}{6}\right)$

$S = \frac{-25}{24} + \frac{13}{6} = \frac{-25}{24} + \frac{52}{24} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8}$

3. **最終的な答え**

(1) 18

(2) $\frac{32}{3}$

(3) $\frac{9}{8}$