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3次関数 $y = 2x^3 + x^2 - 2x - 1$ について、以下の問いに答えます。 (1) 曲線とx軸の共有点のx座標を求めます。 (2) $y \ge 0$ となるxの区間を求めます。 (3) $y \le 0$ となるxの区間を求めます。 (4) 曲線とx軸で囲まれた2つの部分の面積の和を求めます。

解析学3次関数積分面積因数分解
2025/4/8

1. 問題の内容

3次関数 y=2x3+x2−2x−1y = 2x^3 + x^2 - 2x - 1 について、以下の問いに答えます。
(1) 曲線とx軸の共有点のx座標を求めます。
(2) y≥0y \ge 0 となるxの区間を求めます。
(3) y≤0y \le 0 となるxの区間を求めます。
(4) 曲線とx軸で囲まれた2つの部分の面積の和を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 曲線とx軸の共有点のx座標を求めるには、y=0y=0 となるxを求めます。
2x3+x2−2x−1=02x^3 + x^2 - 2x - 1 = 0
この式を因数分解します。
x2(2x+1)−(2x+1)=0x^2(2x+1) - (2x+1) = 0
(x2−1)(2x+1)=0(x^2 - 1)(2x+1) = 0
(x−1)(x+1)(2x+1)=0(x-1)(x+1)(2x+1) = 0
よって、x=1,−1,−12x=1, -1, -\frac{1}{2}
(2) y≥0y \ge 0となるxの区間を求めるには、グラフを描画するか、符号を調べます。
y=(x−1)(x+1)(2x+1)y = (x-1)(x+1)(2x+1)
x<−1x<-1のとき、y<0y<0
−1<x<−12-1<x<-\frac{1}{2}のとき、y>0y>0
−12<x<1-\frac{1}{2}<x<1のとき、y<0y<0
x>1x>1のとき、y>0y>0
したがって、y≥0y \ge 0となるxの区間は、−1≤x≤−12-1 \le x \le -\frac{1}{2}, x≥1x \ge 1
(3) y≤0y \le 0となるxの区間は、x≤−1x \le -1, −12≤x≤1-\frac{1}{2} \le x \le 1
(4) 曲線とx軸で囲まれた2つの部分の面積の和を求めます。
面積 SS は次のように計算できます。
S=∫−1−12(2x3+x2−2x−1)dx+∣∫−121(2x3+x2−2x−1)dx∣S = \int_{-1}^{-\frac{1}{2}} (2x^3 + x^2 - 2x - 1) dx + \left| \int_{-\frac{1}{2}}^{1} (2x^3 + x^2 - 2x - 1) dx \right|
∫(2x3+x2−2x−1)dx=12x4+13x3−x2−x+C\int (2x^3 + x^2 - 2x - 1) dx = \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - x^2 - x + C
∫−1−12(2x3+x2−2x−1)dx=[12x4+13x3−x2−x]−1−12=(12⋅116+13⋅(−18)−14−(−12))−(12−13−1+1)=132−124−14+12−12+13=3−4−24+48−48+3296=796\int_{-1}^{-\frac{1}{2}} (2x^3 + x^2 - 2x - 1) dx = \left[ \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - x^2 - x \right]_{-1}^{-\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{16} + \frac{1}{3} \cdot (-\frac{1}{8}) - \frac{1}{4} - (-\frac{1}{2})) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - 1 + 1) = \frac{1}{32} - \frac{1}{24} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3-4-24+48-48+32}{96} = \frac{7}{96}
∫−121(2x3+x2−2x−1)dx=[12x4+13x3−x2−x]−121=(12+13−1−1)−(132−124−14+12)=3+2−6−66−796=−76−796=−112+796=−11996\int_{-\frac{1}{2}}^{1} (2x^3 + x^2 - 2x - 1) dx = \left[ \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - x^2 - x \right]_{-\frac{1}{2}}^{1} = (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - 1 - 1) - (\frac{1}{32} - \frac{1}{24} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{3+2-6-6}{6} - \frac{7}{96} = -\frac{7}{6} - \frac{7}{96} = -\frac{112+7}{96} = -\frac{119}{96}
S=796+∣−11996∣=796+11996=12696=6348=2116S = \frac{7}{96} + \left| -\frac{119}{96} \right| = \frac{7}{96} + \frac{119}{96} = \frac{126}{96} = \frac{63}{48} = \frac{21}{16}

3. 最終的な答え

(1) 曲線 y=2x3+x2−2x−1y=2x^3+x^2-2x-1 とx軸の共有点のx座標は、 −1,−1/2,1-1, -1/2, 1 です。
(2) y≥0y \ge 0 となるxの区間は −1≤x≤−1/2-1 \le x \le -1/2, x≥1x \ge 1 です。
(3) y≤0y \le 0 となるxの区間は x≤−1x \le -1, −1/2≤x≤1-1/2 \le x \le 1 です。
(4) 曲線とx軸で囲まれた2つの部分の面積の和は 2116\frac{21}{16} です。

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