画像にある数学の問題を解きます。具体的には、以下の問題です。 (6) 不等式 $9^x > 3^{3x+1}$ を解く。 (7) 方程式 $\log_2(x+1) + \log_2(x-2) = 2$ を解く。 (8) 関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$ は、$x = $ のとき、極小値をとる。 (9) 定積分 $\int_0^2 (x^2 + 2x - 3) dx$ の値を求める。

1. 問題の内容

画像にある数学の問題を解きます。具体的には、以下の問題です。

(6) 不等式 $9^x > 3^{3x+1}$ を解く。

(7) 方程式 $\log_2(x+1) + \log_2(x-2) = 2$ を解く。

(8) 関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$ は、$x =$ のとき、極小値をとる。

(9) 定積分 $\int_0^2 (x^2 + 2x - 3) dx$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(6) 不等式 $9^x > 3^{3x+1}$ を解く。

まず、両辺を3の累乗で表します。$9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$ なので、

$3^{2x} > 3^{3x+1}$

底が3で1より大きいので、指数部分の大小関係も同じになります。

$2x > 3x + 1$

$-x > 1$

$x < -1$

(7) 方程式 $\log_2(x+1) + \log_2(x-2) = 2$ を解く。

対数の性質より、$\log_2(x+1) + \log_2(x-2) = \log_2((x+1)(x-2))$なので、

$\log_2((x+1)(x-2)) = 2$

$(x+1)(x-2) = 2^2 = 4$

$x^2 - x - 2 = 4$

$x^2 - x - 6 = 0$

$(x-3)(x+2) = 0$

$x = 3, -2$

ここで、対数の真数は正である必要があるので、$x+1 > 0$ かつ $x-2 > 0$ でなければなりません。つまり、$x > -1$ かつ $x > 2$ なので、$x > 2$ である必要があります。

$x = 3$ はこの条件を満たしますが、$x = -2$ は満たしません。よって、$x = 3$ が解です。

(8) 関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$ の極小値を求める。

まず、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$

極値をとる点を求めるため、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 12x + 9 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x-1)(x-3) = 0$

$x = 1, 3$

次に、二階導関数 $f''(x)$ を求めます。

$f''(x) = 6x - 12$

$x = 1$ のとき $f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0$ なので、$x = 1$ で極大値をとります。

$x = 3$ のとき $f''(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0$ なので、$x = 3$ で極小値をとります。

極小値は $f(3) = 3^3 - 6(3^2) + 9(3) - 1 = 27 - 54 + 27 - 1 = -1$ です。

(9) 定積分 $\int_0^2 (x^2 + 2x - 3) dx$ を計算する。

$\int_0^2 (x^2 + 2x - 3) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x \right]_0^2 = \left( \frac{1}{3}(2^3) + 2^2 - 3(2) \right) - \left( \frac{1}{3}(0^3) + 0^2 - 3(0) \right) = \frac{8}{3} + 4 - 6 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{8}{3} - \frac{6}{3} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(6) $x < -1$

(7) $x = 3$

(8) $x = 3$ のとき、極小値 $-1$ をとる。

(9) $\frac{2}{3}$