与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、以下の6つの和を計算します。 (1) $\sum_{k=1}^{n} (2k-7)$ (2) $\sum_{k=1}^{n} 3^k$ (3) $\sum_{k=1}^{n} (k^3 + 2k^2 + k)$ (4) $\sum_{k=1}^{n} \{k^3 - (k-1)^3\}$ (5) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ (6) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k}$

はい、承知いたしました。画像にある6つの問題について、順に解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、以下の6つの和を計算します。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k-7)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} 3^k$

(3) $\sum_{k=1}^{n} (k^3 + 2k^2 + k)$

(4) $\sum_{k=1}^{n} \{k^3 - (k-1)^3\}$

(5) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$

(6) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k}$

2. 解き方の手順

各問題ごとに解き方を説明します。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k-7)$

和を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k-7) = 2\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 7$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$、$\sum_{k=1}^{n} 7 = 7n$ なので、

$2\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 7 = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 7n = n(n+1) - 7n = n^2 + n - 7n = n^2 - 6n$

(2) $\sum_{k=1}^{n} 3^k$

これは初項3、公比3の等比数列の和です。

$\sum_{k=1}^{n} 3^k = \frac{3(3^n - 1)}{3-1} = \frac{3(3^n - 1)}{2}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} (k^3 + 2k^2 + k)$

和を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^3 + 2k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^3 + 2\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$、$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$、$\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$ なので、

$\sum_{k=1}^{n} (k^3 + 2k^2 + k) = (\frac{n(n+1)}{2})^2 + 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{n(n+1)}{12} [3n(n+1) + 4(2n+1) + 6] = \frac{n(n+1)}{12} [3n^2 + 3n + 8n + 4 + 6] = \frac{n(n+1)}{12} [3n^2 + 11n + 10] = \frac{n(n+1)(3n+5)(n+2)}{12}$

(4) $\sum_{k=1}^{n} \{k^3 - (k-1)^3\}$

これは階差数列の和です。

$\sum_{k=1}^{n} \{k^3 - (k-1)^3\} = n^3 - (n-1)^3 + (n-1)^3 - (n-2)^3 + \cdots + 1^3 - 0^3 = n^3$

(5) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1})$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}) = \frac{1}{2} [(1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \cdots + (\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1})] = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2n+1}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{n}{2n+1}$

(6) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k}$

S = $\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k} = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{n}{2^n}$

$\frac{1}{2}S = \frac{1}{2^2} + \frac{2}{2^3} + \frac{3}{2^4} + \cdots + \frac{n}{2^{n+1}}$

$S - \frac{1}{2}S = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots + \frac{1}{2^n} - \frac{n}{2^{n+1}}$

$\frac{1}{2}S = \frac{\frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}} - \frac{n}{2^{n+1}} = 1 - (\frac{1}{2})^n - \frac{n}{2^{n+1}}$

$S = 2 - \frac{2}{2^n} - \frac{n}{2^n} = 2 - \frac{n+2}{2^n}$

3. 最終的な答え

(1) $n^2 - 6n$

(2) $\frac{3(3^n - 1)}{2}$

(3) $\frac{n(n+1)(3n^2 + 11n + 10)}{12}$ または $\frac{n(n+1)(3n+5)(n+2)}{12}$

(4) $n^3$

(5) $\frac{n}{2n+1}$

(6) $2 - \frac{n+2}{2^n}$