全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$、 $B = \{2, 3, 8, 10\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める問題です。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A}$ (4) $\overline{B}$ (5) $\overline{A} \cap B$ (6) $\overline{A \cup B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$、 $B = \{2, 3, 8, 10\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める問題です。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A}$

(4) $\overline{B}$

(5) $\overline{A} \cap B$

(6) $\overline{A \cup B}$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ (AとBの共通部分):

$A \cap B$ は、集合Aと集合Bの両方に含まれる要素の集合です。

$A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$

$B = \{2, 3, 8, 10\}$

$A \cap B = \{2, 3\}$

(2) $A \cup B$ (AとBの和集合):

$A \cup B$ は、集合Aまたは集合Bに含まれる要素の集合です。

$A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$

$B = \{2, 3, 8, 10\}$

$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 8, 10\}$

(3) $\overline{A}$ (Aの補集合):

$\overline{A}$ は、全体集合Uに含まれる要素のうち、集合Aに含まれない要素の集合です。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$

$\overline{A} = \{4, 6, 8, 9, 10\}$

(4) $\overline{B}$ (Bの補集合):

$\overline{B}$ は、全体集合Uに含まれる要素のうち、集合Bに含まれない要素の集合です。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$B = \{2, 3, 8, 10\}$

$\overline{B} = \{1, 4, 5, 6, 7, 9\}$

(5) $\overline{A} \cap B$ (Aの補集合とBの共通部分):

$\overline{A} \cap B$ は、集合$\overline{A}$と集合Bの両方に含まれる要素の集合です。

$\overline{A} = \{4, 6, 8, 9, 10\}$

$B = \{2, 3, 8, 10\}$

$\overline{A} \cap B = \{8, 10\}$

(6) $\overline{A \cup B}$ (AとBの和集合の補集合):

$\overline{A \cup B}$ は、全体集合Uに含まれる要素のうち、集合 $A \cup B$ に含まれない要素の集合です。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 8, 10\}$

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$\overline{A \cup B} = \{4, 6, 9\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{2, 3\}$

(2) $A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 8, 10\}$

(3) $\overline{A} = \{4, 6, 8, 9, 10\}$

(4) $\overline{B} = \{1, 4, 5, 6, 7, 9\}$

(5) $\overline{A} \cap B = \{8, 10\}$

(6) $\overline{A \cup B} = \{4, 6, 9\}$